"Teorema Pythagoras" dinamakan oleh ahli matematika Yunani kuno yaitu Pythagoras, yang dianggap sebagai orang yang pertama kali memberikan bukti teorema ini. Akan tetapi, banyak orang yang percaya bahwa terdapat hubungan khusus antara sisi dari sebuah segi tiga siku-siku jauh sebelum Pythagoras menemukannya.
Teorema Pythagoras memainkan peran yang sangat signifikan dalam berbagai bidang yang berkaitan dengan matematika. Misalnya, untuk membentuk dasar trigonometri dan bentuk aritmatika, di mana bentuk ini menggabungkan geometri dan aljabar. Teorema ini adalah sebuah hubungan dalam Geometri Euclides di antara tiga sisi dari segi tiga siku-siku. Hal ini menyatakan bahwa 'Jumlah dari persegi yang dibentuk dari panjang dua sisi siku-sikunya akan sama dengan jumlah persegi yang dibentuk dari panjang hipotenusa-nya'.
Secara matematis, teorema ini biasanya biasanya ditulis sebagai : a2 + b2 = c2 , di mana a dan b mewakili panjang dari dua sisi lain dari segitiga siku-siku dan c mewakili panjang dari hipotenusanya (sisi miring).
Sejarah Teorema Pythagoras Sejarah dari Teorema Pythagoras dapat dibagi sebagai berikut:
1. pengetahuan dari Triple Pythagoras,
2. hubungan antara sisi-sisi dari segitiga siku-siku dan sudut-sudut yang berdekatan, 3. bukti dari teorema.
Sekitar 4000 tahun yang lalu, orang Babilonia dan orang Cina telah menyadari fakta bahwa sebuah segitiga dengan panjang sisi 3, 4, dan 5 harus merupakan segitiga siku-siku. Mereka menggunakan konsep ini untuk membangun sudut siku-siku dan merancang segitiga siku-siku dengan membagi panjang tali ke dalam 12 bagian yang sama, seperti sisi pertama pada segitiga adalah 3, sisi kedua adalah 4, dan sisi ketiga adalah 5 satuan panjang.
Sekitar 2500 tahun SM, Monumen Megalithic di Mesir dan Eropa Utara terdapat susunan segitiga siku-siku dengan panjang sisi yang bulat. Bartel Leendert van der Waerden meng-hipotesis-kan bahwa Tripel Pythagoras diidentifikasi secara aljabar. Selama pemerintahan Hammurabi the Great (1790 - 1750 SM), tablet Plimpton Mesopotamian 32 terdiri dari banyak tulisan yang terkait dengan Tripel Pythagoras. Di India (Abad ke-8 sampai ke-2 sebelum masehi), terdapat Baudhayana Sulba Sutra yang terdiri dari daftar Tripel Pythagoras yaitu pernyataan dari dalil dan bukti geometris dari teorema untuk segitiga siku-siku sama kaki.
Pythagoras (569-475 SM) menggunakan metode aljabar untuk membangun Tripel Pythagoras. Menurut Sir Thomas L. Heath, tidak ada penentuan sebab dari teorema ini selama hampir lima abad setelah Pythagoras menuliskan teorema ini. Namun, penulis seperti Plutarch dan Cicero mengatributkan teorema ke Pythagoras sampai atribusi tersebut diterima dan dikenal secara luas. Pada 400 SM, Plato mendirikan sebuah metode untuk mencari Tripel Pythagoras yang baik dipadukan dengan aljabar and geometri. Sekitar 300 SM, elemen Euclid (bukti aksiomatis yang tertua) menyajikan teorema tersebut. Teks Cina Chou Pei Suan Ching yang ditulis antara 500 SM sampai 200 sesudah masehi memiliki bukti visual dari Teorema Pythagoras atau disebut dengan "Gougu Theorem" (sebagaimana diketahui di Cina) untuk segitiga berukuran 3, 4, dan 5. Selama Dinasti Han (202 SM - 220 M), Tripel Pythagoras muncul di Sembilan Bab pada Seni Mathematika seiring dengan sebutan segitiga siku-siku. Rekaman pertama menggunakan teorema berada di Cina sebagai 'theorem Gougu', dan di India dinamakan "Bhaskara theorem".
Namun, hal ini belum dikonfirmasi apakah Pythagoras adalah orang pertama yang menemukan hubungan antara sisi dari segitiga siku-siku, karena tidak ada teks yang ditulis olehnya yang ditemukan. Walaupun demikian, nama Pythagoras telah dipercaya untuk menjadi nama yang sesuai untuk teorema ini.
Teorema Pythagoras menurut bangsa India
Di India (abad ke-8 sampai ke-2 sebelum masehi),terdapat Baudhayana Sutra yang terdiri dari daftar Triple Pythagoras yaitu pernyataan dari dalil dan bukti geometris dari teorema untuk segitiga siku-siku sama kaki. Teorema Pythagoras ini dikenal dengan nama Teorema Bhaskara. India Baudhâyana adalah seorang imam dan matematikawan yang hidup sekitar 800-600 SM. Dia mungkin tidak tertarik pada matematika untuk kepentingan sendiri tetapi untuk penggunaannya dalam pembangunan altar diperlukan untuk berkorban kepada dewa-dewa dan ritual keagamaan lainnya. Untuk ces sacrifi ini menjadi sukses dan para dewa mengabulkan keinginan rakyat kesehatan yang baik, kelimpahan makanan, dan sebagainya, mezbah harus dibangun menurut pengukuran sangat tepat. Baudhâyana’s Sulba Sutra atau ‘Rule of Chords,’ ditulis dalam bahasa Sanskerta dan matematika tanpa menggunakan simbol-simbol, adalah kumpulan dari hasil matematika dan geometri con-instruksi menyatakan tanpa bukti. Di antara ini, kita menemukan pernyataan berikut. “Dia mencari-cari melalui surat-surat. “Di sini kita adalah: tali terbentang sepanjang diagonal menghasilkan suatu wilayah yang vertikal dan horisontal sisi membuat bersama-sama.” Ini dasarnya bentuk umum dari apa yang kita sebut teorema Pythagoras.
Bukti Teorema Pythagoras menurut Bangsa India
Luas Daerah persegi jika gambar di bawah adalah C × C atau C2,
dimana area persegi luar adalah, (A + B)2= A2+ B2+ 2 AB. Di sisi lain seseorang dapat menemukan daerah alun-alun luar sebagai berikut: Daerah luar persegi = Luas persegi batin + Jumlah dari daerah dari empat tepat segitiga di sekitar alun-alun bagian dalam, oleh karena itu
A2 + B2 + 2 AB = C2 + 4 1/2 AB, atau A2 + B2 = C2
Gambar: Bukti Teorema Pythagoras Berdasarkan bangsa Indian
Bagaimana dengan bukti teorema menurut Pythagoras?
Dia harus terlebih dahulu menjelaskan pengertian tentang apa yang pada zamannya merupakan sebuah bukti matematika. berarti awalnya “untuk membuat kebenaran (atau kesalahan) dari sebuah pernyataan matematika terlihat. contoh pengajaran matematika di zaman kuno yang tampaknya mendukung dugaan kami. Ini adalah bagian dari Plato’s Meno di mana Socrates bertanya seorang budak bagaimana luas persegi dengan panjang sisi dua unit dapat digandakan tanpa mengubah bentuknya. Dia kemudian menggambar diagram [lihat gambar (1)] menunjukkan alun-alun yang menjadi dua kali lipat. Setelah budak jawaban bahwa kuadrat barangkali akan berlipat ganda dengan menggandakan panjang sisi-sisinya, Sokrates menggambar ond detik-diagram (2) untuk menunjukkan bahwa persegi yang sisinya dua kali lebih lama sebagai orang-orang yang asli, memiliki luas wilayah empat kali ukurannya. Dia kemudian melanjutkan untuk menggambar diagram ketiga (3) menunjukkan bahwa sebuah persegi yang sisi panjang tiga unit, memiliki luas wilayah persegi sembilan unit, dan karenanya tidak dapat ganda yang asli. Akhirnya dalam diagram keempat (4) ia menunjukkan bahwa pada diagonal persegi telah tepat dua kali daerah asli.
Proposisi yang telah digambarkan dan “terbukti” di atas, dapat diformulasikan sebagai berikut: “Sebuah persegi dibangun di diagonal lain telah dua kali daerah yang lain.” Jadi pada diagonal persegi adalah persegi pada sisi miring, dan Socrates menunjukkan bahwa daerah ini dua kali lipat persegi yang asli, dengan kata lain, sama dengan jumlah dari kuadrat pada kedua sisi lainnya.
Bilangan prima adalah bilangan bulat positif lebih dari 1 dan hanya mempunyai dua pembagi, yaitu 1 dan bilangan tersebut. Sebagai contoh, 19 adalah bilangan prima karena 19 hanya habis dibagi oleh 19 dan 1. Hampir semua bilangan prima adalah bilangan ganjil dan angka 2 merupakan satu-satunya bilangan prima genap. Dari definisi di atas, angka 1 tidak termasuk dalam bilangan prima, tetapi beberapa matematikawan pada abad XIX beranggapan bahwa angka 1 termasuk dalam himpunan bilangan prima yang akan dijelaskan lebih lanjut pada bab Sejarah Bilangan Prima. Bilangan-bilangan selain bilangan prima disebut bilangan komposit. Contohnya, 55 adalah bilangan komposit karena 55 habis dibagi 1, 5, 11, dan 55.Sampai saat ini, belum ditemukan pola yang pasti dalam distribusi bilangan prima sehingga cukup sulit untuk menemukan sebuah ataupun beberapa bilangan prima dalam suatu rentang. Cara yang paling mudah adalah menggunakan Sieve of Eratosthenes. Bilangan prima dapat disebut sebagai batu pembangun bilangan bulat positif. Hal ini dibuktikan dengan suatu teorema yang disebut Teorema Fundamental Aritmetik.
SEJARAH BILANGAN PRIMA
Sejarah bilangan prima dimulai pada zaman Mesir kuno dengan ditemukannya sebuah catatan yang menyatakan penggunaan bilangan prima pada zaman tersebut. Namun, bilangan prima dan bilangan komposit pada zaman ini berbeda dengan bilangan prima dan bilangan komposit yang dikenal saat ini. Bukti lain permulaan sejarah bilangan prima adalah sebuah catatan penelitian bilangan prima oleh bangsa Yunani kuno. Euclid’s Elements (300 BC) berisi beberapa teorema penting mengenai bilangan prima, termasuk ketakberhinggan bilangan prima dan teorema fundamental aritmetik. Euclid juga memperlihatkan bagaimana cara menyusun sebuah bilangan sempurna (perfect number) dari sebuah bilangan prima Mersenne yang ditemukan kemudian. Bukti lain adalah Sieve of Eratosthenes, yaitu sebuah cara untuk menghitung seluruh bilangan prima dalam suatu rentang tertentu.
Pada abad XVII, penelitian terhadap bilangan prima dilanjutkan kembali setelah berabad-abad berhenti. Pada tahun 1640, Pierre de Fermat memulainya dengan membuat Teorema Kecil Fermat (Fermat’s Little Theorem) yang nantinya akan dibuktikan oleh Leibniz dan Euler. Kasus khusus dari teorema ini mungkin telah diketahui oleh bangsa Cina sebelumnya, namun belum ada bukti yang pasti mengenai hal ini. Lama setelah itu, Euler menemukan “lubang”pada teorema ini. Sebagai pengganti, seorang Prancis, Marin Mersenne, membuat suatu bentuk baru dari bilangan prima yang akhirnya namanya diabadikan menjadi nama bilangan ini, yaitu bilangan prima Mersenne (Mersenne prime). Cara penentuan inipun belum sempurna karena terdapat beberapa prima semu diantaranya.
Sampai abad XIX, banyak matematikawan masih beranggapan bahwa 1 adalah bilangan prima, dengan definisi bilangan prima adalah bilangan yang habis dibagi satu dan bilangan tersebut tanpa membatasi jumlah pembagi. Pada abad XIX, Legendre dan Gauss membuat sebuah konjektural untuk menghitung banyaknya bilangan prima yang kurang dari atau sama dengan suatu bilangan. Konjektural ini akhirnya dibuktikan pada tahun 1896 dan berganti nama menjadi Teorema Bilangan Prima (Prime Number Theorem). Sebelumnya, pada tahun 1859, Riemann mencoba membuktikan konjektural tersebut menggunakan fungsi-zeta. Pencarian bilangan prima tidak berhenti sampai disitu, khususnya untuk bilangan-bilangan besar. Banyak matematikawan yang meneliti mengenai tes bilangan prima, contohnya: Pepin’s test untuk bilangan Fermat (1877), Lucas-Lehmer test untuk bilangan Mersenne (1856), dan Lucas-Lehmer test yang digeneralisasikan.
Pada abad XX, penggunaan bilangan prima di luar bidang matematika mulai dikembangkan. Pada era 1970-an, ketika konsep kriptografi kunci-publik ditemukan, bilangan prima menjadi salah satu dasar pembuatan kunci algoritma enkripsi seperti RSA.
menjadi satu atau lebih bilangan prima. Dengan dasar tersebut, Q dapat difaktorkan menjadi satu atau lebih bilangan prima. Namun, tidak ada satu pun bilangan prima (yang telah diasumsikan berjumlah berhingga) yang dapat habis membagi Q karena apapun bilangan primanya, misalkan pj, Q dibagi pj selalu akan menghasilkan sisa minimal 1. Jadi, terdapat suatu bilangan prima baru yang tidak termasuk dalam bilangan prima p1, p2, p3, ... pn, yaitu Q sendiri bila prima atau faktor prima dari Q. Kesimpulan ini kontradiktif dengan asumsi sebelumnya bahwa ada sejumlah berhingga bilangan prima. Oleh karena itu, bilangan prima berjumlah tak berhingga.
Pencarian Bilangan PrimaSebenarnya Euclid dalam beberapa definisi dan proposisi buku Elements-nya menaruh perhatian yang sangat besar akan keberadaan bilangan prima ini. Dalam buku IX Elements, beliau memberikan bukti tentang ketakberhinggaan banyaknya bilangan-bilangan prima dengan menggunakan metode kontradiksi, yang dilakukan pertama kali dalam sejarah matematikan. Selain itu, Euclid juga memberikan sebuah bukti Teorema Fundamental Aritmetika : “Setiap bilangan bulat dapat ditulis sebagai hasil kali bilangan-bilangan prima dalam sebuah bentuk dasar yang unik”. Kemudian dikenal dengan nama Eratosthenes (± 230 SM) dengan `Eratosthenes sieve` atau saringan Eratosthenes,. Pertama-tama ia memperkenalkan metode untuk mendapatkan seluruh bilangan prima yang terbatas hingga suatu bilangan bulat positif n. Dari saringan itu akan didapat bilangan-bilangan prima yang kurang dari n, bahkan dengan saringan tersebut diturunkan suatu konjektur dalam bentuk formula yang dapat dipergunakan untuk memprediksi banyaknya bilangan prima kurang dari suatu bilangan n, yang dinyatakan dengan √n. Sebagai contoh diberikan cara mencari bilangan prima kurang dari 50, dengan langkah-langkah sebagai berikut:
1. Susun bilangan asli secara berurutan kurang dari 50
2. Hilangkan bilangan 1 karena 1 bukan prima
3. Hilangkan bilangan kelipatan 2, kecuali 2
4. Hilangkan bilangan kelipatan 3, kecuali 3
5. Hilangkan bilangan kelipatan 5, kecuali 5
6. Hilangkan bilangan kelipatan 7, kecuali 7
Realisasi langkah tersebut seperti berikut ini:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50.
Sehingga didapat bilangan prima yang kurang dari 50 adalah 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47.
Bilangan Prima dan Rencana Penciptaan
Salah satu teka-teki lama yang belum sepenuhnya terpecahkan adalah bilangan prima. Bilangan prima adalah bilangan yang hanya dapat habis dibagi oleh bilangan itu sendiri dan angka 1. Angka 12 bukan merupakan bilangan prima, karena dapat habis dibagi oleh angka lainnya 2, 3, dan 4. Bilangan prima adalah 2, 3, 5, 7, 11, 13, …. dan seterusnya. Banyak bilangan prima tidak terhingga. Tidak peduli berapa banyak kita menghitung, pasti kita akan menemukan bilangan prima, walaupun mungkin makin jarang_ Hal ini menjadi teka-teki kita, jika kita ingat bilangan ini tidak dapat dibagi oleh angka lainnya. Salah satu hal yang menakjubkan, dalam era komputer kita memberikan kodetifikasi semua hal yang penting dan rahasia, di bank, asuransi, dan perhitungan-perhitungan peluru kendali, security system dengan enkripsi, dalam angka jutaan bilangan-bilangan yang tidak habis dibagi oleh angka lainnya. Ini diperlukan karena dengan penggunaan angka lain, kodetifikasi tadi dapat dengan mudah ditembus.
Fenomena inilah yang ditemukan ilmuwan dari Duesseldorf (Dr. Plichta), sehubungan dengan penciptaan alam, yaitu distribusi misterius bilangan prima. Para ilmuwan sudah lama percaya bahwa bilangan prima adalah bahasa universal yang dapat dimengerti oleh semua makhluk (spesies) berintelegensia tinggi, sebagai komunikasi dasar antarmereka. Bahasa ini penuh misteri karena berhubungan dengan perencanaan universal kosmos.
Bilangan lain yang perlu diketahui adalah sisa dari bilangan prima, yakni bilangan komposit, kecuali angka 1, yaitu 4, 6, 8, 9,10,12,14,15, …. dan seterusnya. Dengan kata lain, bilangan komposit adalah bilangan yang terdiri dari minimal dua faktor prima. Misalnya :
6 = 2 x 3 = 2 . 3
30 = 2 x 3 x 5 = 2 . 3 . 5
85 = 5 x 17 = 5 . 17
Selain itu, dikenal pula bilangan khusus, yang disebut prima kembar, yaitu bilangan prima yang angkanya berdekatan dengan selisih 2. Misalnya :
(3,5)
(5,7)
(11,13)
(17,19)
dan seterusnya.
Mayoritas ahli astrofisika juga percaya bahwa di alam semesta terdapat “kode kosmos” atau yang disebut cosmic code based on this order, yang dikenal juga sebagai Theory of Everything (TOE), yang artinya terdapat konstanta-konstanta alam semesta yang saling berhubungan berdasarkan perintah pendesain. Sekali perintah tersebut dapat dipecahkan, maka hal ini akan membuka pandangan sains lainnya yang berhubungan.
Waclaw Sierpinski, seorang pakar Matematika yang cemerlang … cemas karena kehilangan sebuah tas bawaannya. “Tidak sayang!”, kata istrinya. “Semuanya ada enam di sini”. “Tidak mungkin”, Kata Sierpinski. “Aku telah menghitungnya berulang kali: nol, satu, dua, tiga, empat, lima.” – The Book Of Number
Dalam sehari-hari, sesungguhnya kita tidak membutuhkan angka nol, benar-benar tidak butuh. Ketika anda ditanya, ‘Punya berapa jerukkah anda ?’, maka anda akan cenderung untuk mengatakan ‘Saya tidak punya jeruk’ ketimbang mengatakan ‘Saya mempunyai nol jeruk’. Ketika kita mempunyai seorang adik dan ditanya ‘Berapa tahun umur adikmu itu ?’. Maka kita lebih memilih untuk menjawab ‘Umurnya baru 1 bulan’ daripada harus menjawab dengan ’Umurnya baru 0 tahun’. Inilah masalahnya, karena dalam prakteknya kita sama sekali tidak memerlukan angka nol.
Dibandingkan dari seluruh angka yang ada (1-9), angka 0 (nol) merupakan angka yang paling terakhir kemunculannya. Bahkan, angka nol pernah ditolak keberadaannya oleh kalangan gereja Kristen.
Maka dalam waktu yang sangat lama pada sejarah perjalanan manusia, angka nol tidak muncul. Dan ternyata angka nol sendiri relative belum terlalu lama ditemukan, karena memang ‘tidak penting’.
Orang yang paling berjasa memperkenalkan angka nol di dunia ini adalah al-Khawarizmi, seorang ilmuwan Muslim terkenal. Dia memperkenalkan angka nol melalui karyanya yang monumental Al-Jabr wa al-Muqbala atau yang lebih dikenal dengan nama Aljabar . Angka nol ini kemudian dibawa ke Eropa oleh Leonardo Fibonacci dalam karyanya Liber Abaci , dan semakin dikenal luas pada zaman Renaisance dengan tokoh-tokohnya, antara lain, Leonardo da Vinci dan Rene Descartes.
Pada mulanya, angka nol digambarkan sebagai ruang kosong tanpa bentuk yang di India disebut dengan sunya (kosong, hampa).Hingga kini, angka nol memiliki makna yang sangat khas dan memudahkan seseorang dalam berhitung. Namun, ada kalanya keberadaan angka nol ini dapat menimbulkan kekacauan logika.
”Jika suatu bilangan dibagi dengan nol, hasilnya tidak dapat didefinisikan. Bahkan, komputer sekalipun akan mati mendadak jika tiba-tiba bertemu dengan pembagi angka nol,” jelas Sampayya. Komputer diperintahkan berhenti berpikir bila bertemu dengan sang divisor nol. Hasil yang tertera pada komputer angka menunjukkan #DIV/0!.
Petunjuk mengenai awal manusia mengenal hitungan ditemukan oleh arkeolog Karl Absolom tahun 1930 dalam sebuah potongan tulang serigala – ternyata mereka lebih bernyali, karena kita lebih memilih untuk menggunakan media kertas dibading tulang serigala – yang diperkirakan berumur 30.000 tahun.
Terserah anda akan membayangkan seperti apa 30.000 tahun yang lalu itu dan bagaimana kita hidup jika telah dilahirkan pada masa itu.
Pada potongan tulang itu ditemukan goresan-goresan kecil yang tersusun dalam kelompok-kelompok yang terdiri atas lima. iiiii iiiii iiiii. Entah apa yang telah dihitung oleh Manusia gua Gog. Apakah ia sedang menghitung berapa lalat yang telah ia lahap, ataukah sudah berapa lama ia tidak mandi, entahlah. Dan pada zaman ini angka nol sama sekali belum muncul, karena memangnya untuk apa ?
Jauh sebelum zamannya si Gog, diperkirakan manusia baru mengenal angka satu dan banyak atau satu, dua dan banyak. Pada saat ini ternyata masih ada yang menggunakan sistem ini, yaitu suku Indian Sirriona di Bolivia dan orang-orang Yanoama di Brasil. Ternyata seiring berjalannya waktu, mereka mulai merangkai angka yang sudah ada. Suku Bacairi dan Baroro memiliki system hitung ‘satu’, ‘dua’, ‘dua dan satu’, ‘dua dan dua’, ‘dua dan dua dan satu’, dst. Mereka memiliki system angka berbasis dua dan kita sekarang menyebutnya dengan system biner – saat ini kita sering mempelajarinya jika kita mempelajari system hitungan yang digunakan komputer. Saat ini pun kita menuliskan sebelas sebagai sepuluh dan satu, dst.
Sekarang kita menyebut system basis lima yang digunakan si Gog adalah system quiner. Mengapa Gog memilih lima sebagai basisnya, dan bukannya basis empat atau enam ? Toh, basis berapapun yang dipilih, maka system penghitungan akan tetap bisa dilakukan. Tampaknya ini dipilih karena manusia sajak dari dulu sampai sekarang memiliki lima jari di setiap tangan. Penyebutan Baroro untuk ‘dua dan dua dan satu’ adalah ‘seluruh jari tangan saya’ dan masyarakat Yunani kuno menyebut proses penghitungan dengan fiving – melimakan. Tapi sampai saat itu angka nol tetap belum muncul, karena kita tidak perlu mencatat dan mengatakan ‘nol serigala’ dan ‘nol adik kita’ bukan ?
Sejak masa Gog manusia terus mengalami kemajuan. Kembali kita menelusuri mesin waktu, limaribu tahun yang lalu, orang-orang Mesir mulai membuat tanda untuk menunjukkan ‘satu’, tanda lain untuk menunjukkan ‘lima’, dsb. Sebelum masa piramida, orang-orang Mesir kuno telah menggunakan gambar untuk system bilangan desimal – basis sepuluh, jari dua tangan saya – mereka. Bangsa Mesir akan menggambar enam simbol untuk mencatat angaka seratus dua puluh tiga ketimbang menggambar 123 garis. Bangsa Mesir dikenal sangat menguasai matematika. Meraka pakar perbintangan dan pencatat waktu yang handal dan bahkan sudah menciptakan kalender. Penemuan sistem penanggalan matahari merupakan terobosan besar dan ditambah dengan penemuan seni geometri . Meskipun mereka sudah mencapai matematika tingkat tinggi, namun angka nol ternyata belum muncul juga di Mesir. Ini dikarenakan mereka menggunakan matematika untuk praktis dan tidak menggunakannya untuk sesuatu yang tidak berhubungan dengan kenyataan.
Kemudian kita berpindah ke Yunani. Sebelum tahun 500 SM, mereka telah memahami matematika dengan lebih baik dibandingkan Mesir. Mereka juga menggunakan basis 10. Orang Yunani , sebagai contoh, menuliskan angka 87 dengan 2 simbol, dibandingkan dengan Mesir yang harus menuliskannya dengan 15 simbol, yang justru mengalami kemunduran pada angka Romawi yang memerlukan 7 simbol – LXXXVII. Jika bangsa Mesir menganggap matematika hanyalah alat untuk mengetahui pergantian hari – dengan sistem kalender – dan mengatur pembagian lahan – dengan geometri – , maka orang Yunani memandang angka-angka dan filsafat dengan sangat serius. Zeno yang melahirkan paradoks ketertakhinggaan dan Pytagoras yang sangat kita kenal dengan teorema segitiga siku-sikunya – yang belakangan diketahui bahwa rumus ini sebenarnya sudah diketahui sejak 1000 tahun sebelumnya, dilahirkan di sini. Kita juga mengenal Aristoteles dan Ptolomeus. Mereka dikenal dengan filsafatnya – yang tidak kita bahas dulu, karena akan sangat panjang – walaupun demikian, mereka juga tidak menemukan angka nol. Angka nol tetap belum ditemukan sampai saat ini.
Kembali ke dunia timur, Babilonia – Iraq sekarang – ternyata memiliki sistem hitung kuno yang jauh lebih maju. Mereka menggunakan sistem berbasis 60, seksagesimal , sehingga mereka memiliki 59 tanda. Yang membedakan sistem ini dengan Mesir dan Yunani adalah, bahwa sebuah tanda dapat berarti 1, 60, 3600 atau bilangan yg lebih besar lainnya. Merekalah yang mengenalkan alat bantu hitung abax – soroban di Jepang, suan-pan di China, s’choty di Rusia, coulbadi di Turki, dll yang di sini kita sebut dengan sempoa). Sistem hitung mereka seperti sistem kita saat ini dimana 222 menunjukkan nilai ‘dua’, ‘dua puluh’ dan ‘dua ratus’. Begitu juga simbol i menunjukkan ‘satu’ atau ‘enam puluh’ dalam dua posisi yang berbeda. Orang Babilonia tidak memiliki metode untuk menunjukkan kolom-kolom yang tepat bagi simbol-simbol tertulis, sementara dengan abakus hal ini lebih mudah ditunjukkan angka mana yang dimaksud. Sebuah batu yang terletak di kolom kedua dapat dibedakan dengan mudah dari batu yang terdapat di kolom ketiga dan seterusnya. Dengan demikian i dapat berarti 1, 60 atau 3600 atau nilai yang lebih besar. Sehingga ii dapat lebih kacau lagi, karena bsa berarti 61, 3601, dsb. Maka diperlukan penanda dan mereka menggunakan ii sebagai tempat kosong, sebuah kolom kosong pada abakus. Sehingga sekarang ii berarti 61 dan iiii berarti 3601. Walaupun mereka telah menemukan penanda kolom kosong dengan ii, namun sesungguhnya angka nol tetap saja belum muncul pada kebudayaan ini.ii tetap tidak mempunyai nilai numerik tersendiri.
Maka ketika kita meninggalkan kebudayaan-kebudayaan di atas, tetap saja belum kita temukan angka nol dan dari titik ini kita akan mengalami percabangan untuk menentukan siapa sebenarnya penemu sang angka nol. Asal mula matematika di India masih samar. Sebuah teks yang ditulis pada tahun 476 M menunjukkan pengaruh matematika Yunani, Mesir dan Babilonia yang dibawa Alexander saat penaklukannya. Suatu ketika pakar Matematika India mengubah sistem hitung mereka dari sistem Yunani ke Babilonia tetapi berbasis sepuluh. Namun dari referensi pertama bilangan Hindu yang berasal dari seorang Uskup Suriah pada tahun 662 menyebutkan bahwa mereka menggunakan 9 tanda dan bukannya sepuluh.
Dengan jatuhnya kekaisaran Romawi pada abad VII, Barat pun mengalami kemunduran dan Timur mengalami kebangkitan. Selama bintang Barat tenggelam di balik cakrawala, bintang lainnya terbit, Islam.
Setelah Rasulullah Muhammad saw wafat maka dimulailah masa Khulafur Rasyidin yang dipimpim oleh Khalifah Abu Bakar Ash Shiddiq ra, Amirul Mukminin Umar Bin Khattab Al Faruq ra, Amirul Mukminin Usman Bin Affan Dzunnurrain ra dan Amirul Mukminin Ali Bin Abi Thalib kw. Dan saat ini Islam telah tersebar mencapai Mesir, Suriah, Mesopotamia dan Persia dan juga Yerusalem. Pada tahun 700 M, Islam telah mencapai sungai Hindus di Timur dan Algiers di Barat. Tahun 711 M, Islam telah menguasai Spanyol sampai ke wilayah Prancis dan di tahun 751 M telah mengalahkan Cina. Dan di Spanyol yang lebih dikenal dengan Andalusia, mengalami puncak kejayaanya pada abad VIII.
Pada abad IX, Khalifah Al Ma’mun mendirikan perpustakaan megah, Bayt Al Hikmah – Rumah Kebijaksanaan. Dan salah satu ilmuwan terkemukannya adalah Muhammad Ibnu Musa Al Khawarizmi. Tulisan pentingnya antara lain Al-Jabr Wa Al-Muqabala dan dari sinilah muncul istilah aljabar – penyelesaian. Dan juga menyebarkan Algoritma dari kata Al-Khawarizmi.
Dan dari sinilah bangsa-bangsa di belahan dunia lain akan mengikuti sistem bilangan arab yang baru. Bilangan yang terdiri atas sepuluh tanda. Dan akhirnya angka nol pun muncul dan selesailah perjalanan kita. Dan kita tetap belum tahu secara pasti apakah angka nol pertama muncul di India ataukah di Andalusia ataukah di Arab. Namun suatu hal yang pasti, ia baru muncul pada abad – minimal – VI atau bahkan lebih. Wallahu ‘alam.
Siapa yang belum mengenal segitiga pascal. Segitiga pascal ini sangat membantu untuk banyak hal. Untuk pemfaktoran pada aljabar. misalnya untuk menjabarkan suatu bentuk pangkat yang di dalamnya terdapat penjumlahan atau pengurangan. Misalnya, (x + y)4 atau yang lain. Dengan menggunakan segitiga pascal ini sangat membantu untung menjabarkan lebih cepat lagi.
Yang kita kenal dari segitiga pascal adalah bentuknya yang seperti segitiga dan bilangan yang bawah adalah hasil penjumlahan dua bilangan di atasnya
Blaise Pascal (1623-1662)
Blaise Pascal (1623-1662) seorang Prancis yang merupakan keajaiban dalam dunia matematika.Blaise Pascal lahir di Kota Clermont, Prancis. Ia anak dari seorang ilmuwan dan matematikawan, Etienne Pascal. Ibunya, Antoinette Bigure, meninggal saat umur Pascal berumur empat tahun, tak lama setelah memberinya seorang adik perempuan, Jacqueline. Kedua saudara perempuan ini memberi pengaruh besar pada kehidupan Pascal. Tidak lama kemudian mereka berempat pindah dari Clermont ke Paris agar dapat memperoleh pendidikan yang lebih baik. Sewaktu kecil, Pascal tidak menikmati bangku sekolah. Ia belajar kepada ayahnya dan sesekali oleh guru pribadi. Pada usia 12 tahun, Pascal mulai mengenali ilmu pengetahuan alam, belajar penguasaan bahasa dan matematika. Minat ingin tahu ternyata di luar dugaan sang ayah. Oleh karena itu, pada umur 13 tahun sudah menemukan rumus segi tiga Pascal.
Segitiga aritmatika yang ditunjukkan disini telah dikenal selama 600 tahun,tetapi Pascal menemukan bahwa banyak dari sifat-sifat segitiga dihubungkan dengan barisan-barisan dan deret-deret istimewa.
Pada saat segitiga selesai dibuat,bayangan dalam setiap persegi dengan bilangan-bilangan ganjil di dalamnya dan Anda akan melihat sebuah pola yang muncul.
Segitiga Pascal juga sangat membantu kita dalam melakukan perhitungan bilangan berpangkat.
CONTOH :
(A+B)2=A2+2AB+B2
(A+B)3=A3+3A2B+3AB2+B3
Yang unik dari segitiga pascal ini adalah jika setiap barisnya dijumlahkan maka hasilnya adalah merupakan bilangan 2 pangkat n dengan n berurutan dari 0. Baris pertama didapatkan 20. Baris kedua adalah sama dengan 21. Baris ketiga sama dengan 22. Dan seterusnya…
1 = 20
1 + 1 = 21
1 + 2 + 1 = 22
1 + 3 + 3 + 1 = 23
1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 24
1 + 5 + 10 + 10 + 5 + 1 = 25
1 + 6 + 15 + 20 + 15 + 6 + 1 = 26
…
Unik bukan. Hal yang unik banyak didapatkan di matematika…
Kita semua pasti punya sahabat, benar? orang-orang terdekat kita yang slalu mewarnai hari-hari kita. Sahabat kita bisa orang tua kita, temen sekelas, tetangga samping rumah, maupun orang-orang yang kita temui lewat dunia cyber. Tapiiiiiiii..tau kah kamu kalo ternyata di matematika ada juga lho bilangan bersahabat. Mau tau???hihi baca terus ya…
Bilangan bersahabat itu pasangan bilangan yang mempunyai sifat yang unik yaitu dua bilangan yang masing-masing adalah jumlah dari pembagi sejati bilangan lainnya. Contoh bilangan yang saling bersahabat adalah 220 dan 284. Kenapa hayoo?
Nah, untuk mengetahui kedua bilangan itu bersahabat, kita tentukan dulu faktor-faktor sejati dari kedua bilangan itu. Apa itu faktor-faktor sejati?? yang dimaksud faktor-sejati sebuah bilangan adalah faktor-faktor dari bilangan itu yang bukan bilangan itu sendiri. Misalnya saja faktor sejati dari 8 adalah 1, 2, dan 4.
Faktor sejati dari 220 adalah 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55, 110
Faktor sejati dari 284 adalah 1, 2, 4, 71, 142 Sekarang kita jumlahkan faktor-faktor sejati itu
Faktor sejati 220 = 1 + 2 + 4 + 5 +10 + 11 + 20 + 22 + 24 + 55 + 110 = 284
Faktor sejati 284 = 1 + 2 + 4 + 71 + 142 = 220
Dari perhitungan itu, kita tau bahwa jumlah dari faktor-faktor sejati 220 adalah 284. Begitu juga sebaliknya, faktor-faktor sejati dari 284 adalah 220. Karna itulah, 220 dan 284 disebut bilangan bersahabat.
Ini dia sejarahnya...
Iamblichus seorang ahli filsafat Neoplato pada tahun 320 menyatakan bahwa dua bilangan bersahabat adalah penemuan Phytagoras.
Dua bilangan bersahabat bersifat mistik dan ketakhyulan bagi sekolah Phytagoras atau bagi orang Yunani. Jika pasangan bilangan itu dipakai sebagai ajimat oleh dua orang bersahabat, maka persahabatan mereka akan langgeng.
Hingga tahun 1636 tidak ditemukan dua bilangan bersahabat. Hingga Pierre Fermat ahli teori bilangan terkemuka dari Perancis menemukannya pada tahun 1636 yakni pasangan 17.296 dengan 18.410.
Pada tahun 1747 Leonard Euler menemukan 30 pasangan bilangan bersahabat, ditambah lagi hingga menjadi 60 pasang.
pada tahun 1886, seorang anak berusia 16 tahun Nicolo Paganini menemukan pasangan yang relatif kecil yakni 1184 dan 1210.
Sekarang sudah lebih dari 400 pasang bilangan bersahabat (amicable number) ditemukan.
Dalam tabel, beberapa bilangan bersahabat adalah sebagai berikut :
1184
1210
2620
2924
5020
5564
6232
6368
10744
10856
17296
18416
Kedua bilangan berikut juga dua bilangan yang bersahabat
9363584 dengan 9437056
111448537712 dengan 118853793424
sumber :http://blog.math.uny.ac.id/nurinahappy/2009/08/07/bilangan-bersahabat/
http://pinkcatmiau.wordpress.com/2010/12/09/bilangan-bersahabat-amicable-number/
http://asimtot.wordpress.com/2010/08/16/bilangan-yang-bersahabat/
Secara sederhana, sejarah bilangan dapat kita mulai dengan bilangan Asli. Bilangan Asli merupakan bilangan yang pertama kali dikenal manusia. Hal ini karena secara alamiah manusia akan melihat berbagai benda/objek dan kemudian untuk keperluan tertentu mereka harus menghitungnya. Tentu saja mereka tidak menyadari bahwa bilangan yang mereka gunakan untuk menghitung tersebut adalah bilangan Asli. Dengan demikian kita dapat mendefinisikan bahwa bilangan asli adalah bilangan yang digunakan untuk menghitung. Notasi himpunan bilangan asli adalah ℕ. Anggota bilangan asli adalah N={1,2,3,…}.Bilangan asli yang sudah dikenal tentu harus dilengkapi dengan suatu aturan untuk mengoperasikan bilangan tersebut. Operasi tersebut adalah penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian. Kita sudah mengetahui bahwa bilangan asli bersifat tertutup terhadap penjumlahan. Artinya, penjumlahan dua bilangan asli akan menghasilkan bilangan asli. Tetapi tidak demikian dengan pengurangan. Kita akan mendapati bahwa jika sebuah bilangan asli dikurangi dengan bilangan asli hasilnya belum tentu bilangan asli. Sebagai contoh, 5 – 5 = 0. Jelas bahwa bukan anggota bilangan asli. Oleh karena itu, sistem bilangan asli harus diperluas dengan menyertakan 0 sebagai anggota.
Perluasan ini kemudian dikenal sebagai bilangan Cacah.Bilangan nol merupakan salah satu penemuan yang sangat penting. Sebelum ada bilangan nol, menuliskan bilangan-bilangan yang besar sangat sulit. Bahkan beberapa bilangan memiliki notasi yang sama (untuk lebih lengkap, silakan baca buku Berhitung Sejarah dan Pengembangannya yang ditulis oleh Dali S. Naga). Dengan adanya bilangan nol, penulisan bilangan-bilangan yang besar pun menjadi mudah. Bilangan nol pertama kali digunakan di China dan India, tetapi kemudian dipopulerkan oleh Bangsa Arab pada era keemasan Islam.Perkembangan selanjutnya, bilangan Cacah pun ternyata tidak dapat sepenuhnya merepresentasikan objek dalam dunia nyata. Dalam dunia nyata ada orang yang memiliki uang, ada orang yang tidak memiliki uang, dan bahkan ada orang yang memiliki utang. Keadaan pertama dapat kita tulis dengan bilangan asli, sedangkan keadaan kedua bisa kita tulis dengan bilangan 0. Bagaimana dengan keadan yang ketiga jika yang menjadi kerangka acuan adalah keberadaan uang. Hal ini akan membawa kita pada perluasan sistem bilangan cacah menjadi menjadi bilangan bulat.
Perluasan bilangan bulat dapat juga dijelaskan dengan operasi pada dua bilangan cacah. Dengan operasi pengurangan, ternyata diketahui bahwa jika dua bilangan cacah dikurangkan maka hasilnya belum tentu bilangan cacah. Sebagai contoh, 6 – 4 = 2 dan 2 masih merupakan bilangan cacah, tetapi 4 – 6 tidak ada interpretasinya dalam bilangan cacah. Selanjutnya digunakan bilangan negatif untuk menyatakan hasil 4 – 6. Dengan demikian, karena 4 – 6 merupakan kebalikan dari , maka 4 – 6 = -2. Gabungan bilangan cacah dengan bilangan negatif ini yang kemudian membentuk bilangan bulat.Notasi himpunan bilangan bulat adalah ℤ, dan anggota bilangan bulat adalah Z={…,-3,-2,-1,0,1,2,3,…}.
Perhatikan bahwa -2 tidak hanya dihasilkan dari 4-6 , tetapi dapat juga dihasilkan dari 5 – 7, 10 – 12, 20 – 22 dan masih banyak lagi. Berdasarkan hal tersebut, setiap bilangan bulat mewakili suatu hasil pengurangan dalam cacah. Sebagai contoh, bilangan 2 mewakili hasil-hasil dari {2 – 0, 3 – 1, 4 – 2, …}. Bilangan -3 mewakili hasil-hasil dari {0 – 3, 2 – 5, 7 – 10, …}. Hal ini berarti anggota himpunan bilangan bulat adalah hasil operasi pengurangan pada bilangan asli.Bilangan bulat yang disertai dengan operasi penjumlahan dan perkalian membentuk struktur tertentu dalam matematika. Struktur yang dimiliki bilangan bulat adalah, terhadap operasi penjumlahan, sistem bilangan bulat membentuk grup yang komutatif (grup abelian). Hal ini berarti terhadap penjumlahan bilangan bulat bersifat tertutup, asosiatif, memiliki unsur identitas, memiliki invers (lawan) dan komutatif,. Terhadap perkalian, bilangan bulat memiliki sifat, tertutup, komutatif, asosiatif, dan mempunyai unsur identitas. Dengan demikian sistem bilangan bulat memiliki sifat yang lebih lengkap daripada sistem bilangan sebelumnya.Selanjutnya, terhadap operasi pembagian, ternyata bilangan bulat tidak bersifat tertutup. Dalam kehidupan sehari-hari kita sering harus membagi suatu objek menjadi beberapa bagian. Setelah dibagi hasilnya bisa utuh bisa juga tidak utuh. Sebagai contoh, jika kita memiliki 10 apel kemudian akan dibagikan kepada 5 anak, maka masing-masing anak akan mendapat 2 apel (masing-masing apel masih utuh). Tetapi jika 10 apel tersebut akan dibagikan kepada 20 anak, maka setiap anak mendapat setengah apel. Tidak ada bilangan bulat yang dapat digunakan untuk menyatakan hasil tersebut. Oleh karena itu, sistem bilangan diperluas.Perluasan dari sistem bilangan bulat tersebut adalah sistem bilangan rasional. Bilangan rasional didefinisikan sebagai bilangan yang dapat ditulis sebagaidengan m dan n bilangan bulat dan n≠0. Dengan perluasan sistem bilangan ini, maka persoalan tentang pembagian dapat diselesaikan. Jika sistem bilangan bulat membentuk struktur grup abelian terhadap operasi penjumlahan, maka sistem bilangan rasional membentuk lapangan (Field).Selanjutnya, kita semua mengenal teorema Pythagoras. Jika kita mempunyai segitiga siku-siku dengan sisi tegak masing-masing 1 satuan panjang, maka panjang sisi miringnya (hypotenusa) adalah. Namun, tidak dapat dinyatakan dalam bentuk m/n dengan m dan n bilangan bulat dan n≠0 (bukti lengkapnya lihat di buku analisis real). Ini berarti ada bilangan lain di luar bilangan rasional. Bilangan tersebut dikenal sebagai bilangan irasional. Gabungan bilangan rasional dan bilangan irasional membentuk sistem bilangan real. Bilangan real dapat didefinisikan sebagai bilangan yang dapat digunakan untuk mengukur. Sistem bilangan real membentuk lapangan terurut dan lengkap.Perluasan himpunan bilangan real adalah himpunan bilangan kompleks. Kemunculan bilangan kompleks dapat diilustrasikan oleh usaha mencari solusi persamaan kuadrat. Bilangan yang memenuhi persamaan kuadrat itu adalah bilangan yang kuadratnya adalah -1. Tidak ada bilangan real yang memenuhi sifat demikian. Oleh karena itu, muncul himpunan bilangan kompleks. Himpunan bilangan kompleks dinotasikan dengan dan $latex i= \sqrt{-1}} $.
Sejarah dari Teorema Pythagoras dapat dibagi sebagai berikut:
1. pengetahuan dari Triple Pythagoras,
2. hubungan antara sisi-sisi dari segitiga siku-siku dan sudut-sudut yang berdekatan,
3. bukti dari teorema.
Sekitar 4000 tahun yang lalu, orang Babilonia dan orang Cina telah menyadari fakta bahwa sebuah segitiga dengan panjang sisi 3, 4, dan 5 harus merupakan segitiga siku-siku. Mereka menggunakan konsep ini untuk membangun sudut siku-siku dan merancang segitiga siku-siku dengan membagi panjang tali ke dalam 12 bagian yang sama, seperti sisi pertama pada segitiga adalah 3, sisi kedua adalah 4, dan sisi ketiga adalah 5 satuan panjang.
Sekitar 2500 tahun SM, Monumen Megalithic di Mesir dan Eropa Utara terdapat susunan segitiga siku-siku dengan panjang sisi yang bulat. Bartel Leendert van der Waerden meng-hipotesis-kan bahwa Tripel Pythagoras diidentifikasi secara aljabar. Selama pemerintahan Hammurabi the Great (1790 - 1750 SM), tablet Plimpton Mesopotamian 32 terdiri dari banyak tulisan yang terkait dengan Tripel Pythagoras. Di India (Abad ke-8 sampai ke-2 sebelum masehi), terdapat Baudhayana Sulba Sutra yang terdiri dari daftar Tripel Pythagoras yaitu pernyataan dari dalil dan bukti geometris dari teorema untuk segitiga siku-siku sama kaki.
Pythagoras (569-475 SM) menggunakan metode aljabar untuk membangun Tripel Pythagoras. Menurut Sir Thomas L. Heath, tidak ada penentuan sebab dari teorema ini selama hampir lima abad setelah Pythagoras menuliskan teorema ini. Namun, penulis seperti Plutarch dan Cicero mengatributkan teorema ke Pythagoras sampai atribusi tersebut diterima dan dikenal secara luas. Pada 400 SM, Plato mendirikan sebuah metode untuk mencari Tripel Pythagoras yang baik dipadukan dengan aljabar and geometri. Sekitar 300 SM, elemen Euclid (bukti aksiomatis yang tertua) menyajikan teorema tersebut. Teks Cina Chou Pei Suan Ching yang ditulis antara 500 SM sampai 200 sesudah masehi memiliki bukti visual dari Teorema Pythagoras atau disebut dengan "Gougu Theorem" (sebagaimana diketahui di Cina) untuk segitiga berukuran 3, 4, dan 5. Selama Dinasti Han (202 SM - 220 M), Tripel Pythagoras muncul di Sembilan Bab pada Seni Mathematika seiring dengan sebutan segitiga siku-siku. Rekaman pertama menggunakan teorema berada di Cina sebagai 'theorem Gougu', dan di India dinamakan "Bhaskara theorem".
Namun, hal ini belum dikonfirmasi apakah Pythagoras adalah orang pertama yang menemukan hubungan antara sisi dari segitiga siku-siku, karena tidak ada teks yang ditulis olehnya yang ditemukan. Walaupun demikian, nama Pythagoras telah dipercaya untuk menjadi nama yang sesuai untuk teorema ini.
Pemberi dasar bahwa matematika adalah ilmu yang perlu pembuktian
Euclid
(325 – 265 SM)
Riwayat
Tidak lama Pythagoras meninggal, lahirlah Euclid. Pada era ini matematika lebih dikenal sebagai sains dan kurang mistik. Theorema-theorema baru ditambahkan: kurva-kurva, lingkaran-lingkaran dan bentuk-bentuk lain dipelajari sama halnya seperti garis lurus dan bidang–bidang datar. Tahun yang disebut di atas hanya prakiraan karena tidak adanya sumber yang layak dipercaya. Ada sumber yang menyebutkan Euclid hidup antara tahun 330 - 275 SM.
Lembaga yang menaungi pembelajaran saat itu adalah akademi Plato. Masa keemasan Yunani dan kebebasan berekspresi membuat pemikir-pemikir baru bermunculan. Didirikan pada 380 SM, lolos dari invasi-invasi yang datang silih berganti, hidup dalam suksesi banyak tiran dan menjadi saksi keruntuhan dua kebudayaan besar – Yunani dan Romawi – sebelum akhirnya ditutup pada abad keenam oleh kaisar Justinian.
Euclid diperkirakan belajar pada akademi Plato ini sebelum diangkat menjadi pengajar matematika di tempat yang sama. Ada cerita Euclid masih mengajar di akademi ini ketika Alexander Agung menyatakan misinya untuk menaklukkan dunia. Yunani, bersama Mesir dan Mediterian dan negara-negara di kepulauan Yunani ditaklukkan oleh angkatan perang Macedonian. Pada tahun 332 SM, Alexander Agung menetapkan ibukota negara di Alexandria, Mesir dan sembilan tahun kemudian ia meninggal pada usia 33 tahun. Tahta diberikannya kepada jendral Ptolemy atau Claudius Ptolemaeus.
Karya besar Euclid
The Element dapat dikatakan karya fenomenal pada jaman itu. Terdiri dari 13 buku yang tersusun berdasarkan tema dan topik. Setiap buku diawali dengan difinisi, postulat (hanya untuk buku I), preposisi, theorema sebelum ditutup dengan pembuktian dengan menggunakan difinisi dan postulat yang sudah disebutkan. Buku ini ke luar Yunani tahun 1482, diterjemahkan ke dalam bahasa Latin dan Arab, serta menjadi buku teks geometri dan logika pada awal tahun 1700-an. Garis besar isi masing-masing buku.
Buku I : Dasar-dasar geometri: teori segitiga, sejajar dan luas
Buku II : Aljabar geometri
Buku III : Teori-teori tentang lingkaran
Buku IV : Cara membuat garis dan gambar melengkung
Buku V : Teori tentang proporsi-proporsi abstrak
Buku VI : Bentuk yang sama dan proporsi-proporsi dalam geometri
Buku VII : Dasar-dasar teori angka
Buku VIII : Proporsi-proporsi lanjutan dalam teori angka
Buku IX : Teori angka
Buku X : Klasifikasi
Buku XI : Geometri tiga dimensi
Buku XII : Mengukur bentuk-bentuk
Buku XIII : Bentuk-bentuk tri-matra (tiga dimensi)
Euclid mencetuskan 5 postulat yang kemudian menjadi pokok bahasan. Agar tidak terjadi salah interpretasi, maka postulat kelima juga disajikan dalam bahasa Inggris. Hal ini disengaja, karena munculnya geometri non-Euclidian, dirintis oleh Gauss, diawali dengan menganggap postulat kelima salah total..
1.Garis lurus dapat digambar dari (sembarang) titik sampai (sembarang) titik lainnya.
2. Ujung garis lurus dapat dilanjutkan terus sebagai garis lurus.
3. Lingkaran dapat digambar dari sembarang titik pusat dan dengan jari-jari berbeda.
4. Semua sudut-sudut di sisi kanan besarnya sama dengan sisi lainnya.
5. Apabila garis lurus terpotong menjadi dua garis lurus, menyudut di sisi dalam pada kedua garis pada sisi yang sama daripada dua sudut yang sejajar, jika diteruskan sampai ke (titik) tak terhingga, akan berpotongan pada sisi dimana sudutnya lebih kecil dibandingkan sudut yang terbentuk dari dua garis.
(If a straight line falling on two straight lines makes the interior angles on the same side together less than two right angles, the two straight lines, if produced indefinitely, meet on that side on which the angles are together less than two right lines)
Theorema-theorema pada Elements adalah kompilasi karya para matematikawan sebelumnya – Pythagoras, Eudoxus, Menaechunus, Hippocrates, menampilkan pembuktian-pembuktian kuno dengan mengganti dengan baru dan disederhanakan. Element menjadi – dan abadi – buku teks baku dalam geometri. Saat mesin cetak ditemukan, buku ini termasuk buku pertama yang dicetak.
Euclid mencoba memecahkan problem irrasional yang membuat Pythagoras putus-asa. Dengan menggunakan contoh segitiga siku-siku dengan panjang kedua sisinya 1, maka sisi panjang segitiga adalah x² = 2. Euclid membuat asumsi bahwa solusinya dapat ditemukan. Solusi versi Euclid hanya menyebutkan bahwa v2 adalah (bilangan) irrasional yang artinya bilangan tersebut tidak dapat dibuat nisbah (ratio), bukan karena bilangan tersebut “kurang waras.” Rasanya ketiga-belas buku dan “kandungan” lima postulat sulit dibantah. Ternyata ada ‘cacat’ pada postulat kelima.
Cacat pada postulat Euclid
Semua postulat membawa apa yang disebut dengan pembuktian diri (self-evidence). Postulat kelima dibuktikan oleh Euclid tanpa memberikan cara pembuktian. Upaya pertama untuk membuktikan postulat kesejajaran ini dilakukan oleh Girolamo Saccheri, pendeta Jesuit berkebangsaan Italia, yang mendukung Euclid dengan menerbitkan buku berjudul Euclides ab omni naevo vindicatus (“Euclid bebas dari semua kesalahan”) pada tahun 1733. Buku tersebut tidak dapat menuntaskan kesalahan Euclid. Matematikawan terkemuka Jerman, Gauss, pertama kali menemukan kesalahan postulat kelima tapi malu untuk mempublikasikannya sehingga kehormatan diberikan kepada dua matematikawan lain yang mengungkapkannya dengan cara penemuan Gauss. Janos Bolyai dari Hongaria dan Nicolai Lobachevsky secara terpisah mampu membuktikan cacat postulat kelima Euclid dengan cara berbeda pula.
Penemuan kesalahan ini membuat berkembangnya geometri model baru. Dirintis oleh Beltrami dari Italia, disusul Cayley dari Inggris, Poincare dari Perancis dan Felix Klein dari Jerman. Terakhir, dirombak, diubah dan dilakukan penyesesuai kecil terhadap postulat-postulat Euclid oleh [Bernhard] Riemann dari Jerman sehingga muncul bentuk-bentuk baru: hiperbola, parabola, ellips yang merupakan jawaban bahwa alam semesta bukanlah pengikut aliran Euclid (non-Euclidian).
Tiga problem matematika klasik
Para matematikawan sejak dahulu berkutat dengan tiga problem yang tidak dapat dipecahkan pada saat itu. Memang ketiga problem itu menjadi mudah setelah ada “campur-tangan” pada matematikawan modern yang terus menyempurnakan alat-alat matematika. Adapun ketiga problem ini adalah:
1. Persamaan pangkat 3
4x³ - 3x - a = 0
a adalah angka tertentu. Saat itu Yunani tidak mengenal pangkat tiga (kubik). Dengan penggaris dan kompas mereka hanya mampu menyelesaikan persamaan linier (pangkat 1) dan persamaan kuadrat (pangkat 2).
2. Menggandakan kuadrat
2x³ = y³ atau x³ = 2.
Problem yang tidak dapat dipecahkan terjadi karena sebuah legenda. Bangsa Athena, menurut cerita, konsultasi dengan Orakel (tempat dibangun kuil dan dewa bersabda) sebelum melakukan kampanye perang dan dijawab bahwa untuk mempertahankan kejayaan mereka harus menggandakan lebar altar pemujaan terhadap Apolo (Anak Zeus yang dipercayai oleh ayahnya untuk menyingkapkan keputusan-keputusan ayahhandanya untuk umat manusia), yang berbentuk kubus. Mereka segera membuat altar dengan dua kali panjang, dua kali lebar dan dua kali tinggi dibanding altar aslinya.
Percaya bahwa mereka sudah memenuhi keinginan Oracle, mereka dengan penuh percaya diri menuju perang – dan kalah. Ternyata, mereka membuat altar delapan kali besarnya, bukan 2 kali.
3. Menggambar lingkaran.
Karena tidak ada alat yang tersedia, pada saat itu, tidaklah dimungkinkan menggambar lingkaran bahkan dinyatakan dalam bentuk persamaan aljabar. Problem menyangkut menentukan besaran p (pi), nisbah antara lingkaran dan diameter. Kendala datang dari p yang merupakan bilangan irrasional sekaligus transendental (= bukan bilangan yang dapat diekspresikan dalam aljabar. Sulit ‘memahami alam tanpa kehadiran bilangan ini. Ada 2 bilangan transendental yang terkenal: p dan e).
Ketiga problem klasik ini akan selalu membayangi kiprah para matematikawan. Tidak terkecuali Euclid, tanpa pernah dapat menyelesaikan. Matematikawan berikutnya akan selalu menghadapi dan berupaya memecahkan problem tersebut. Penyelesaian suatu problem berarti nama baik sekaligus prestasi. Tidak jarang terjadi kecurangan, saling “curi” ide, penghianatan. Dan hal ini selalu terjadi di jaman dulu sampai jaman sekarang. Banyak contoh dapat dibaca pada riwayat-riwayat para matematikawan selanjutnya.
Kondisi sekarang
Apabila dahulu Euclid dipuja, sekarang keadaan berbalik. Banyak pengikutnya mulai “menyerang” Euclid dengan menyebut dia terlalu arogan dan memaksakan suatu pembuktian yang dibuatnya selalu benar, misalnya: salah satu sisi segitiga tidak akan lebih panjang daripada jumlah kedua sisi lainnya. Matematikawan modern mengkritik Euclid dari sudut pandang lain, yaitu: Euclid tidak cermat dalam melakukan pembuktian. Terdapat beberapa kesalahan dan ide-ide yang tidak dapat dipertanggungjawabkan. Yang paling mencolok adalah postulat kelima yang juga lazim disebut dengan postulat kesejajaran.
Para matematikawan berikutnya tidak dapat menerima pernyataan-pernyataan (postulat) yang tidak dapat dibuktikan itu. Kemudian, muncul geometri non-Euclidian yang menggantikan postulat-postulat itu dengan pernyataan yang dapat diterima umum.
Masa tua Euclid
Pindah untuk mengajar di Alexandria yang lebih kosmopolitas, modern tidak membuat Euclid gembira dibandingkan tinggal di kota-kota di Yunani yang makin lama makin sepi. Di sini dia melihat aplikasi matematika. Pompa air, air terjun buatan bahkan motor yang digerakkan tenaga uap tidak memberi makna kehidupan bagi Euclid. Ia lebih suka matematika untuk dipelajari bukan untuk aplikasi. Euclid meninggal di Alexandria.
* Seorang astronomer yang menghitung gerakan bumi, bulan dan matahari. Perhitungan ini kelak akan disempurnakan oleh Newton.
Sumbangsih
Format yang dibuat Euclid membantu terjadi standarisasi matematika Yunani. Subyek-subyek yang dibahas oleh Euclid mencakup bentuk-bentuk, theorema Pythagoras, persamaan dalam aljabar, lingkaran, tangen, geometri ruang, teori proporsi, bilangan prima, bilangan sempurna, integer positif, bilangan irrasional, gambar tri-matra (tiga dimensi). Euclid meninggalkan warisan yang berguna bagi pengembangan matematika.
Kompilasi hasil-hasil karya matematikawan sebelumnya lewat buku Elements, menunjukkan “benang merah” bahwa pengembangan matematika tidak lepas dari peran pemikir Yunani. Kritik terhadap Euclid justru memicu munculnya non-Euclidian yang melengkapi bahasan Euclid. Bentuk parabola, hiperbola dan elips mulai mendapatkan perhatian dari paramatematikawan.
Geometri Non-Euclid
Geometri Non-Euclid studi tentang bentuk dan konstruksi yang tidak peta secara langsung ke n-dimensiEuclidean sistem, yang ditandai dengan non-hilang tensor kelengkungan Riemann . Contoh-Euclidean geometri non meliputi hiperbolik dan geometri eliptik , yang dikontraskan dengan geometri Euclidean .
The essential difference between Euclidean and non-Euclidean geometry is the nature of parallel lines. Euclid 's fifth postulate, the parallel postulate , is equivalent to Playfair's postulate , which states that, within a two-dimensional plane, for any given line ℓ and a point A , which is not on ℓ , there is exactly one line through A that does not intersect ℓ . Perbedaan esensial antara Euclid dan-Euclidean geometri non sifat paralel garis. Euclid 's postulat kelima, postulat sejajar , setara dengan 's postulat Playfair , yang menyatakan bahwa, dalam dimensi pesawat dua, untuk diberikan ℓ setiap baris dan suatu titik A, yang tidak pada ℓ, ada tepat satu garis melalui A yang tidak berpotongan ℓ.In hyperbolic geometry, by contrast, there are infinitely many lines through A not intersecting ℓ , while in elliptic geometry, any line through A intersects ℓ (see the entries on hyperbolic geometry , elliptic geometry , and absolute geometry for more information). Dalam geometri hiperbolik, sebaliknya, ada terbatas banyak baris melalui A berpotongan ℓ tidak, sementara dalam geometri eliptik, setiap garis melalui A memotong ℓ (lihat entri pada geometri hiperbola , geometri eliptik , dan geometri mutlak untuk informasi lebih lanjut).
Another way to describe the differences between these geometries is to consider two straight lines indefinitely extended in a two-dimensional plane that are both perpendicular to a third line: Cara lain untuk menggambarkan perbedaan antara geometri adalah untuk mempertimbangkan dua garis lurus tanpa batas waktu diperpanjang dalam pesawat dua dimensi yang keduanya tegak lurus ke baris ketiga:
·In Euclidean geometry the lines remain at a constant distance from each other even if extended to infinity, and are known as parallels. Dalam geometri Euclidean baris tetap di sebuah konstanta jarak dari satu sama lain bahkan jika diperpanjang hingga tak terbatas, dan dikenal sebagai paralel.
·In hyperbolic geometry they "curve away" from each other, increasing in distance as one moves further from the points of intersection with the common perpendicular; these lines are often called ultraparallels. Dalam geometri hiperbolik mereka "kurva jauh" dari satu sama lain, peningkatan jarak sebagai salah satu bergerak lebih jauh dari titik-titik persimpangan dengan tegak lurus umum; garis ini sering disebut ultraparallels.
·In elliptic geometry the lines "curve toward" each other and eventually intersect. Dalam geometri eliptik baris "kurva terhadap" satu sama lain dan akhirnya berpotongan.
Non-euclidean geometry can be understood by picturing the drawing of geometric figures on curved surfaces, for example, the surface of a sphere or the inside surface of a bowl. Non-euclidean geometri dapat dipahami dengan membayangkan gambar tokoh geometris pada permukaan melengkung, misalnya, permukaan bola atau permukaan dalam mangkuk.
Sejarah
Sedangkan geometri Euclidean , dinamai matematikawan Yunani Euclid , termasuk beberapa dari matematika tertua, geometri non-Euclidean tidak secara luas diterima sebagai sah hingga abad ke-19.
Perdebatan yang akhirnya mengarah pada penemuan geometri non-Euclidean dimulai segera setelah pekerjaan Euclid's Elements ditulis. In the Elements , Dalam Elemen, Euclid dimulai dengan sejumlah asumsi (23 definisi, lima pengertian umum, dan lima postulat) dan berusaha untuk membuktikan semua hasil lainnya ( proposisi ) dalam pekerjaan. Yang paling terkenal dari postulat sering disebut sebagai "Postulat Euclid Kelima," atau sekadar " postulat sejajar ", yang dalam rumusan asli's Euclid adalah:
Jika garis lurus jatuh pada dua garis lurus sedemikian rupa sehingga sudut interior pada sisi yang sama bersama-sama kurang dari dua sudut siku-siku, maka garis-garis lurus, jika diproduksi tanpa batas waktu, bertemu di sisi di mana adalah sudut kurang dari dua sudut kanan.
Matematikawan lain telah menyusun bentuk yang lebih sederhana dari properti ini (lihat paralel postulat untuk laporan setara). Terlepas dari bentuk dalil, bagaimanapun, secara konsisten tampaknya lebih rumit daripada postulat Euclid lain (yang meliputi, misalnya, "Antara setiap dua titik garis lurus dapat ditarik").
Setidaknya selama seribu tahun, geometri yang terganggu oleh kompleksitas yang berbeda dari postulat kelima, dan diyakini dapat dibuktikan sebagai teorema dari empat lainnya. Banyak berusaha untuk mencari bukti dengan kontradiksi , termasuk matematikawan Arab Ibn al-Haytham (Alhazen, abad ke-11), di Persia ahli matematika Omar Khayyām (abad ke-12) dan Nasir al-Din al-Tusi (abad ke-13), dan di Italia matematikawan Giovanni Girolamo Saccheri (abad ke-18).
" Teorema Ibn al-Haytham, Khayyam dan al-Tusi pada segiempat , termasuk Lambert segiempat dan Saccheri segiempat , adalah "beberapa teorema pertama dari hiperbolik dan geometri eliptik . Teorema ini bersama dengan postulat alternatif, seperti yang aksioma Playfair , memainkan peran penting dalam pengembangan selanjutnya dari geometri non-Euclidean. Upaya-upaya awal pada dalil kelima menantang memiliki pengaruh besar terhadap perkembangan di antara Eropa geometri kemudian, termasuk Witelo , Levi ben Gerson , Alfonso , John Wallis dan Saccheri. Semua upaya ini dilakukan pada awal mencoba merumuskan non-Euclidean Namun geometri memberikan bukti cacat dari postulat paralel, yang berisi asumsi yang pada dasarnya setara dengan postulat paralel.Ini upaya awal itu, bagaimanapun, memberikan beberapa sifat awal geometri hiperbolik dan elips.
Khayyam, bagaimanapun, mungkin sedikit dari pengecualian. Tidak seperti banyak komentator Euclid sebelum dan sesudah dia (termasuk Saccheri), Khayyam tidak berusaha untuk membuktikan paralel dalil seperti itu tetapi untuk mendapatkan dari setara sebuah postulat ia merumuskan dari "prinsip-prinsip Bertuah" ( Aristoteles ): "Dua konvergen garis lurus berpotongan dan tidak mungkin untuk dua garis lurus konvergen menyimpang ke arah di mana mereka berkumpul. " Khayyam kemudian dianggap sebagai tiga kasus yang tepat, tumpul, dan akut yang sudut puncak dari sebuah Saccheri segiempat dapat mengambil dan setelah membuktikan sejumlah teorema tentang mereka, ia benar membantah tumpul dan kasus-kasus akut berdasarkan dalil dan karenanya diturunkan dalil klasik Euclid. pengecualian lain mungkin anak al-Tusi's, Sadr al-Din (kadang-kadang dikenal sebagai "Pseudo-Tusi"), yang menulis sebuah buku tentang subjek pada tahun 1298, berdasarkan pikiran kemudian al-Tusi, yang disajikan salah satu argumen awal untuk setara hipotesis non-Euclidean ke postulat paralel. "Dia pada dasarnya revisi kedua sistem Euclidean aksioma dan dalil-dalil dan bukti-bukti banyak proposisi dari Elemen." Karyanya telah diterbitkan di Roma pada tahun 1594 dan telah dipelajari oleh geometri Eropa, termasuk Saccheri.
Giordano Vitale Vitale Giordano , dalam bukunya Euclide restituo (1680, 1686), menggunakan Saccheri segiempat untuk membuktikan bahwa jika tiga poin berjarak sama di pangkalan AB dan CD puncak, maka AB dan CD di mana-mana berjarak sama.
Dalam karya berjudul Euclides ab Omni Naevo Vindicatus (Euclid Dibebaskan dari Semua Cacat), yang diterbitkan pada tahun 1733, Saccheri cepat dibuang geometri eliptik sebagai kemungkinan (beberapa orang lain dari Teman-aksioma Euclid harus dimodifikasi untuk geometri elips untuk bekerja) dan mulai bekerja membuktikan besar jumlah hasil dalam geometri hiperbolik.Dia akhirnya mencapai titik di mana ia percaya bahwa hasilnya menunjukkan ketidakmungkinan geometri hiperbolik. Klaimnya tampaknya telah didasarkan pada pengandaian Euclidean, karena tidak ada kontradiksi logis hadir.Dalam upaya untuk membuktikan geometri Euclid dia malah tidak sengaja menemukan geometri yang layak baru. Pada saat ini secara luas percaya bahwa alam semesta bekerja sesuai dengan prinsip-prinsip geometri Euclid.
Awal abad ke-19 akan langkah-langkah yang menentukan akhirnya saksi dalam penciptaan geometri non-Euclidean. Sekitar 1830, Hongaria matematika János Bolyai dan Rusia matematikawan Nikolai Lobachevsky terpisah diterbitkan risalah pada geometri hiperbolik. Akibatnya, geometri hiperbolik disebut geometri Bolyai-Lobachevskian, baik sebagai matematikawan, independen satu sama lain, adalah penulis dasar dari geometri non-Euclidean. Gauss disebutkan untuk ayah Bolyai, ketika ditampilkan karya Bolyai muda, bahwa ia telah mengembangkan seperti geometri sekitar 20 tahun sebelum, meskipun ia tidak mempublikasikan. Sementara Lobachevsky menciptakan geometri non-Euclidean dengan meniadakan postulat paralel, Bolyai bekerja di luar geometri dimana kedua Euclidean dan geometri hiperbolik yang mungkin tergantung pada parameter k. Bolyai mengakhiri karyanya dengan menyebutkan bahwa tidak mungkin untuk memutuskan melalui penalaran matematis saja jika geometri Euclidean alam semesta fisik atau non-Euclidean, ini adalah tugas untuk ilmu fisik.
Pada 1840-an, Hermann Grassmann menulis sebuah Ph.D. Tesis tentang aljabar abstrak dan aljabar eksterior , dimana ia berpendapat bahwa dimensi dari alam semesta fisik belum tentu tiga, tetapi mungkin tak terbatas. Pada 1846 ia berasal koordinat dan metrik-bebas kalkulus geometris , cocok untuk kelas ruang termasuk affine dan proyektif spasi. [ 7 ] Sayangnya meskipun's bekerja Grassmann itu fundamental bagi beberapa cabang matematika abad ke-20, sangat jauh di depan dari waktu yang teman-temannya tidak mengerti itu.
Bernhard Riemann Bernhard Riemann , dalam sebuah kuliah yang terkenal pada 1854, menemukan bidang geometri Riemann , khususnya membahas ide-ide sekarang disebut manifold , metrik Riemann , dan lengkungan . Dia membangun sebuah keluarga tak terbatas non-Euclidean geometri dengan memberikan rumus untuk keluarga metrik Riemann pada bola unit di ruang Euclides . Kadang-kadang ia tidak adil dikreditkan dengan hanya menemukan geometri eliptik , tetapi pada kenyataannya, konstruksi ini menunjukkan bahwa karyanya jauh, dengan teorema nya memegang untuk semua geometri.
Postulat ke-5 Euclid
Pada sekitar 300 SM Euclid menulis The Elements, sebuah buku yang menjadi salah satu buku paling terkenal yang pernah ditulis. Euclid menyatakan lima postulat yang ia mendasarkan semua teorema nya:
1.Untuk menarik garis lurus dari titik apapun kepada yang lain.
2.Untuk menghasilkan garis lurus hingga terus menerus dalam garis lurus.
3.Untuk menggambarkan lingkaran dengan pusat dan jarak.
4.Itu semua sudut kanan sama satu sama lain.
5.Bahwa, jika sebuah garis lurus jatuh pada dua garis lurus membuat sudut interior pada sisi yang sama kurang dari dua sudut kanan, jika diproduksi tanpa batas waktu, bertemu di sisi yang merupakan sudut kurang dari dua sudut yang tepat.
Jelas bahwa postulat kelima berbeda dari keempat lainnya.Itu tidak memuaskan Euclid dan ia berusaha menghindari penggunaannya selama mungkin - sebenarnya 28 proposisi pertama The Elements terbukti tanpa menggunakannya. Komentar lain yang layak membuat pada saat ini adalah bahwa Euclid , dan banyak yang mengikutinya, diasumsikan bahwa garis lurus yang tak terbatas.
Proclus (410-485) menulis komentar di The Elements mana dia komentar pada bukti-bukti mencoba untuk menyimpulkan dalil kelima dari empat lainnya, khususnya ia mencatat bahwa Ptolemy telah menghasilkan bukti 'palsu'. Proclus kemudian melanjutkan untuk memberikan palsu bukti sendiri. Namun ia tidak memberikan dalil berikut ini yang setara dengan postulat kelima.
Playfair 's Aksioma: - Mengingat garis dan titik tidak di baris tersebut, adalah mungkin untuk menarik tepat satu garis melalui titik sejajar ke garis.
Meskipun terkenal dari zaman Proclus , dikenal sebagai Playfair's Aksioma setelah John Playfair menulis komentar terkenal pada Euclid tahun 1795 di mana ia mengusulkan mengganti Euclid 's postulat kelima dengan aksioma ini.
Banyak usaha dilakukan untuk membuktikan dalil kelima dari empat lainnya, banyak dari mereka yang diterima sebagai bukti untuk jangka waktu sampai kesalahan itu ditemukan. Selalu kesalahan itu dengan asumsi beberapa 'jelas' properti yang ternyata setara dengan dalil kelima. Satu bukti diberikan oleh Wallis tahun 1663 ketika ia berpikir bahwa ia telah menyimpulkan dalil kelima, tapi ia benar-benar menunjukkan hal itu adalah setara dengan:
Untuk setiap segitiga, terdapat sebuah segitiga yang sama besarnya sebarang.
Salah satu bukti mencoba ternyata lebih penting daripada kebanyakan orang lain. Ini diproduksi tahun 1697 oleh Girolamo Saccheri . Pentingnya Saccheri pekerjaan adalah bahwa ia dianggap dalil kelima palsu dan berusaha untuk mendapatkan kontradiksi.
Euclid 's postulat kelima adalah c). Saccheri membuktikan bahwa hipotesis sudut tumpul tersirat dalil kelima, sehingga mendapatkan kontradiksi. Saccheri kemudian mempelajari hipotesis sudut lancip dan banyak teorema yang berasal dari non-Euclidean geometri tanpa menyadari apa yang ia lakukan. Namun ia akhirnya 'membuktikan' bahwa hipotesis sudut lancip menyebabkan kontradiksi dengan asumsi bahwa ada 'titik di infinity' yang terletak di pesawat.
In 1766 Lambert followed a similar line to SacPada 1766 Lambert mengikuti garis yang mirip dengan Saccheri . Namun ia tidak jatuh ke dalam perangkap yang Saccheri jatuh ke dalam dan menyelidiki hipotesis sudut lancip tanpa memperoleh kontradiksi. Lambert memperhatikan bahwa, dalam hal ini geometri baru, jumlah sudut segitiga meningkat sebagai kawasan segitiga menurun.
Legendre menghabiskan 40 tahun hidupnya bekerja pada postulat paralel dan bekerja muncul dalam lampiran berbagai edisi buku sukses geometrinya sangat Elements de Géométrie. Legendre membuktikan bahwa Euclid 's postulat kelima adalah setara dengan:
Jumlah sudut segitiga sama dengan dua sudut siku-siku.
Legendre menunjukkan, sebagai Saccheri telah lebih dari 100 tahun sebelumnya, bahwa jumlah sudut segitiga tidak bisa lebih dari dua sudut siku-siku. Ini, sekali lagi seperti Saccheri , beristirahat pada kenyataan bahwa garis lurus yang tak terbatas. Dalam mencoba untuk menunjukkan bahwa nilai sudut tidak boleh kurang dari 180 ° Legendre diasumsikan bahwa melalui setiap titik di pedalaman sudut selalu mungkin untuk menarik garis yang memenuhi kedua sisi sudut. Hal ini ternyata menjadi bentuk lain setara dengan postulat kelima, tapi Legendre tidak pernah menyadari kesalahannya sendiri.
Dasar geometri adalah dengan saat ini tergenang di dalam masalah dalil paralel. D'Alembert , pada tahun 1767, menyebutnya skandal geometri dasar.
Orang pertama yang benar-benar datang untuk memahami masalah paralel adalah Gauss . Dia mulai bekerja pada postulat kelima tahun 1792 sementara hanya 15 tahun, pada awalnya mencoba untuk membuktikan postulat kesejajaran dari empat lainnya. Pada 1813 ia telah membuat sedikit kemajuan dan menulis:
Dalam teori paralel kita bahkan sekarang tidak lebih jauh dari Euclid .Ini merupakan bagian memalukan matematika ...
Namun dengan 1817 Gauss telah menjadi yakin bahwa postulat kelima independen dari postulat lainnya empat. Dia mulai bekerja di luar konsekuensi geometri di mana lebih dari satu baris dapat ditarik melalui paralel titik tertentu untuk garis yang diberikan. Mungkin yang paling mengejutkan dari semua Gauss pernah menerbitkan karya ini, tetapi merahasiakannya. Pada waktu berpikir didominasi oleh Kant yang telah menyatakan bahwa geometri Euclidean adalah kebutuhan yang tak terelakkan dari pemikiran dan Gauss tidak menyukai kontroversi.
Gauss membahas teori paralel dengan temannya, matematikawan Farkas Bolyai yang membuat bukti palsu beberapa postulat paralel. Farkas Bolyai mengajari anaknya, János Bolyai , matematika tetapi, meskipun menasihati anaknya tidak membuang-buang jam waktu satu di bahwa masalah masalah dalil kelima, János Bolyai melakukan pekerjaan pada masalah.
Pada tahun 1823 János Bolyai menulis kepada ayahnya mengatakan bahwa saya telah menemukan hal-hal begitu indah yang saya sangat terkejut dari ketiadaan Aku telah menciptakan sebuah dunia baru yang aneh. Namun butuh Bolyai dua tahun lagi sebelum itu semua ditulis dan ia menerbitkan aneh dunia barunya sebagai lampiran halaman 24 untuk ayah bukunya, meskipun hanya untuk membingungkan generasi mendatang lampiran diterbitkan sebelum buku itu sendiri.
Gauss , setelah membaca 24 halaman, dijelaskan János Bolyai dalam kata-kata ketika menulis ke teman: hal ini muda Bolyai geometri sebagai jenius yang pertama. pesanan saya Namun dalam beberapa hal Bolyai hanya diasumsikan bahwa geometri baru mungkin.Dia kemudian mengikuti konsekuensi dalam mode tidak terlalu berbeda dari mereka yang telah memilih untuk menganggap dalil kelima adalah palsu dan mencari kontradiksi. Namun terobosan yang sebenarnya adalah keyakinan bahwa geometri baru itu mungkin. Gauss , namun terkesan ia terdengar dalam kutipan di atas dengan Bolyai , agak hancur Bolyai dengan mengatakan kepadanya bahwa dia ( Gauss ) telah menemukan semua ini sebelumnya tapi tidak dipublikasikan. Meskipun hal ini tidak diragukan lagi pasti benar, itu sama sekali tidak akan mengurangi dari Bolyai 's terobosan yang luar biasa.
Juga tidak Bolyai pekerjaan 'berkurang karena Lobachevsky menerbitkan bekerja pada-Euclidean geometri non 1829. . Baik Bolyai maupun Gauss tahu Lobachevsky 'kerja, terutama karena hanya diterbitkan dalam bahasa Rusia di Kazan Messenger publikasi universitas lokal. Lobachevsky oleh 's upaya untuk mencapai audiens yang lebih luas gagal ketika kertas ditolak Ostrogradski .
Bahkan Lobachevsky bernasib tidak lebih baik dari Bolyai dalam memperoleh pengakuan publik atas kerja penting nya. Ia menerbitkan investigasi geometris pada teori paralel pada tahun 1840 yang dalam 61 halamannya, memberikan catatan paling jelas dari Lobachevsky pekerjaan '. Penerbitan rekening di Perancis di Crelle 's 's Journal pada tahun 1837 membawa karyanya di-Euclidean geometri non khalayak luas tetapi komunitas matematika tidak siap untuk menerima ide-ide begitu revolusioner.
Dalam Lobachevsky 's 1840 buklet ia menjelaskan dengan jelas bagaimana geometri non-Euclidean karya-karyanya.
Semua garis lurus yang dalam pesawat keluar dari titik bisa, dengan mengacu pada garis lurus yang diberikan pada bidang yang sama, dibagi menjadi dua kelas - ke dalam pemotongan dan non-potong.garis batas ini dari satu dan kelas lain dari baris tersebut akan dipanggil sejajar dengan garis yang diketahui.
Oleh karena itu Lobachevsky telah menggantikan postulat kelima Euclid oleh:
Lobachevsky's Postulat paralel. Terdapat dua garis sejajar dengan garis yang diberikan melalui suatu titik tertentu tidak di telepon.
Lobachevsky melanjutkan untuk mengembangkan identitas trigonometri banyak segitiga yang diadakan di geometri ini, menunjukkan bahwa sebagai segitiga menjadi kecil cenderung identitas identitas trigonometri biasa.
Riemann , yang menulis disertasi doktor di bawah Gauss pengawasan s ', memberikan kuliah perdana pada 10 Juni 1854 di mana ia merumuskan kembali seluruh konsep geometri yang dilihatnya sebagai ruang dengan struktur tambahan yang cukup untuk dapat mengukur hal-hal seperti panjang. Kuliah ini tidak dipublikasikan sampai 1868, dua tahun setelah Riemann 'kematian tetapi memiliki pengaruh besar pada pengembangan kekayaan geometri yang berbeda. Riemann secara singkat membahas 'bola' geometri di mana setiap garis melalui titik P tidak pada garis AB memenuhi garis AB. Dalam geometri ini tidak paralel yang mungkin.
Adalah penting untuk menyadari bahwa baik Bolyai 's atau Lobachevsky 'deskripsi geometri baru mereka telah terbukti konsisten. Bahkan itu tidak berbeda dengan geometri Euclidean dalam hal ini meskipun berabad-abad kerja dengan geometri Euclidean cukup untuk meyakinkan matematikawan bahwa kontradiksi tidak pernah akan muncul di dalamnya.
Orang pertama yang menempatkan Bolyai - Lobachevsky non-Euclidean geometri pada pijakan yang sama seperti geometri Euclidean Eugenio Beltrami (1835-1900). Pada tahun 1868 ia menulis Esai makalah tentang penafsiran non-Euclidean geometri yang menghasilkan model bagi-Euclidean geometri-dimensi non 2 dalam dimensi Euclidean geometri-3. Model tersebut diperoleh pada permukaan revolusi dari tractrix tentang asymptote nya. Ini kadang-kadang disebut pseudo-bola.
Anda dapat melihat grafik dari tractrix dan apa bagian atas bola-Pseudo tampak seperti.
Bahkan Beltrami 'model tidak lengkap tapi jelas memberikan keputusan akhir tentang postulat kelima Euclid sejak model yang disediakan pengaturan di mana Euclid 's empat pertama postulat kelima diadakan tetapi tidak terus. Ini mengurangi masalah konsistensi aksioma geometri non-Euclidean dengan yang konsistensi aksioma geometri Euclidean.
Beltrami 's bekerja pada model Bolyai - Lobachevsky 's-Euclidean geometri non diselesaikan oleh Klein tahun 1871. Klein melangkah lebih jauh dari ini dan memberikan model geometri non-Euclidean lain seperti Riemann 's geometri bola. Klein 'karya didasarkan pada gagasan jarak didefinisikan oleh Cayley pada tahun 1859 ketika ia mengusulkan definisi umum untuk jarak.
Klein menunjukkan bahwa ada tiga jenis yang berbeda pada dasarnya geometri. Dalam Bolyai - Lobachevsky jenis geometri, garis lurus memiliki dua titik jauh tak terhingga. Dalam Riemann jenis geometri bola, garis tidak memiliki (atau lebih tepatnya dua imajiner) jauh poin jauh. Geometri Euclid merupakan kasus pembatas antara kedua dimana untuk setiap baris terdapat dua titik jauh jauh bertepatan.
Dalam matematika, irisan kerucut adalah lokus dari semua titik yang membentuk kurva dua-dimensi, yang terbentuk oleh irisan sebuah kerucut dengan sebuah bidang. Tiga jenis kurva yang dapat terjadi adalah Parabola, Elips, dan hiperbola. Apollonius dari Perga adalah matematikawanYunani yang pertama mempelajari irisan kerucut secara sistematik pada awal abad ke-2 SM
Dalam memahami geometri irisan kerucut, sebuah kerucut dianggap memiliki dua kulit yang membentang sampai tak berhingga di kedua arah. Sebuah generator adalah sebuah garis yang dapat dibuat pada kulit kerucut, dan semua generator saling berpotongan di satu titik yang disebut verteks kerucut.
Jenis irisan kerucut
Jika sebuah bidang mengiris kerucut sejajar dengan satu dan hanya satu generator, maka irisannya adalah parabola. Jika bidang pengiris sejajar dengan dua generator, maka irisannya akan memotong kedua kulit dan membentuk sebuah hiperbola. Sebuah elips terjadi jika bidang pengiris tidak sejajar dengan generator mana pun. Lingkaran adalah kasus khusus dari elips, yang terbentuk jika bidang pengiris memotong semua generator dan tegak lurus sumbu kerucut.
Dalam koordinat kartesius, grafik dari persamaan kuadrat dengan dua variabel selalu menghasilkan irisan kerucut, dan semua irisan kerucut dapat dihasilkan dengan cara ini.
Jika terdapat persamaan dengan bentuk:
ax2 + 2hxy + by2 + 2gx + 2fy + c = 0
maka:
·Jika h2 = ab, persamaan ini menghasilkan parabola.
·Jika h2 < ab, persamaan ini menghasilkan elips.
·Jika h2 > ab, persamaan ini menghasilkan hiperbola.
·Jika a = b and h = 0, persamaan ini menghasilkan lingkaran.
·Jika a + b = 0, persamaan ini menghasilkan hiperbola persegi.
Pada akhir abad ke-19, didalam matematika timbul suatu masalah yaitu adanya penggolongan atas dasar sifat-sifat yang serupa dan sifat yang berbeda.Masalah klasifikasi semacam inidisarikan menjadi suatu cabang matematika yangdinamakan Teori Himpunan. Orang yang pertama kali mengemukakan konsephimpunan ialah seorang matematikawan Jerman yang bernama George Cantor (1845-1918)
Ia lahir di St. Petersburg. Perhatiannya pertama pada teori bilangan, persamaan-persamaan yang tak dapat diselesaikan, deret-deret Trigonometri.ia menuliskan laporan tentang bilangan rasional yang menggunakan barisan konvergen dari bilangan rasional berbeda dari yang diberikan secara geometri oleh Dedekind. Pada tahun 1874 karyanya tentang teori himpunan dan teori tak berhingga membuat revolusi dalam matematika. Ia memciptakan aritmetika bilangan transfinite seperti pada aritmetika bilangan terbatas. pertentangan antara aliran pormalis dari Hilbert dengan aliran intuisionis dari brower adalah kelanjutan dari pertentangan Cantor dengan pandangan Kronecker.
Ia menciptakan suatu istilah baru dalam bahasa Jerman yangdisebutnya “Menge”, yang dibatasi olehnya sebagai “hasil usaha menghimpunbeberapa benda yang memiliki suatu ciri pembeda tertentu, menjadi suatukesatuan”. Di dalam bahasa Inggris “menge” disebut “set ”. Sedangkan kita sering menyebutnya sebagai “Himpunan”. Namun ada pula yang menyebutnya sebagai“keluarga”, “gugus”, “kelas” atau “kelompok”.
Himpunan dapat diartikan sebagai kumpulan benda-benda real atau abstrak yang dapat dibedakan antara satu dengan yang lainnya. Dengan kata lainhimpunan itu harus merupakan kumpulan objek yang dapat di definisikan dengan jelas.
Sruktur Aljabar
Aljabar adalah cabang matematika mengenai studi tentang aturan operasi dan hubungan , dan pembangunan dan konsep-konsep yang timbul dari mereka, termasuk istilah , polinomial , persamaan dan struktur aljabar . Bersama dengan geometri , analisis , topologi , kombinatorik , dan teori bilangan , aljabar merupakan salah satu cabang utama matematika murni . Sejarah aljabar dimulai di Mesir kuno dan Babel , di mana orang belajar untuk memecahkan linear (ax = b) dan quadratic (ax2 + bx = c) persamaan, serta persamaan tak tentu seperti x + y2 2 = z2, dimana beberapa diketahui terlibat. Orang-orang Babel kuno terpecahkan sewenang-wenang persamaan kuadrat dengan prosedur yang sama pada dasarnya diajarkan hari ini. Mereka juga bisa memecahkan beberapa persamaan tak tentu.
Para matematikawan Aleksandria Hero dari Alexandria dan Diophantus melanjutkan tradisi Mesir dan Babel, tapi Diophantus buku Arithmetica ada di tingkat yang jauh lebih tinggi dan memberikan solusi mengejutkan banyak persamaan tak tentu sulit." Pengetahuan kuno solusi persamaan pada gilirannya menemukan rumah awal di dunia Islam, di mana ia dikenal sebagai "ilmu restorasi dan balancing." (Kata bahasa Arab untuk restorasi, al-jabru, adalah akar kata aljabar.) Pada abad ke-9, matematikawan Arab al-Khawarizmi menulis salah satu aljabar Arab pertama, uraian sistematis dari teori dasar persamaan, dengan kedua contoh dan bukti. Pada akhir abad ke-9, ahli matematika Mesir Abu Kamil telah menyatakan dan membuktikan hukum dasar dan identitas dari aljabar dan memecahkan masalah-masalah rumit seperti menemukan x, y, dan z sehingga x + y + z = 10, x2 + y2 = z2, dan xz = y2.
Peradaban kuno menuliskan ekspresi aljabar hanya menggunakan singkatan sesekali, tapi oleh matematikawan abad pertengahan Islam mampu berbicara tentang sewenang-wenang kekuasaan tinggi tidak diketahui x, dan bekerja di luar aljabar dasar polinomial (tanpa belum menggunakan simbolisme modern). Ini termasuk kemampuan untuk mengalikan, membagi, dan menemukan akar kuadrat polinomial serta pengetahuan tentang teorema binomial. Matematikawan Persia, astronom, dan penyair Omar Khayyam menunjukkan bagaimana mengekspresikan akar persamaan kubik dengan segmen garis yang diperoleh berpotongan kerucut , tapi ia tidak bisa menemukan rumus untuk akar. Sebuah terjemahan Latin dari Al-Khawarizmi's Aljabar muncul pada abad 12. Pada awal abad ke-13, matematikawan besar Italia Leonardo fibonacci dicapai pendekatan dekat dengan solusi dari persamaan kubikx3 + 2 x2 + cx = d. Karena fibonacci telah melakukan perjalanan di tanah Islam, ia mungkin digunakan metode Arab aproksimasi.
Pada awal abad ke-16, matematikawan Italia Scipione del Ferro , Niccolo Tartaglia , dan Gerolamo Cardano memecahkan persamaan kubik umum dalam hal konstanta muncul dalam persamaan. Teman-murid Cardano, Ludovico Ferrari, segera menemukan solusi yang tepat untuk persamaan derajat keempat (lihat persamaan quartic ), dan sebagai hasilnya, matematikawan untuk beberapa abad berikutnya mencoba untuk menemukan rumus untuk akar dari persamaan derajat lima, atau lebih tinggi . Pada awal abad ke-19, bagaimanapun, matematikawan Norwegia Niels Abel dan matematikawan Perancis Evariste Galois membuktikan bahwa tidak ada formula seperti itu tidak ada.
Sebuah perkembangan penting dalam aljabar pada abad ke-16 adalah pengenalan simbol untuk diketahui dan untuk kekuatan aljabar dan operasi. Sebagai hasil dari perkembangan ini, Buku III dari géometrie La (1637), yang ditulis oleh filsuf Perancis dan matematikawan Rene Descartes , tampak seperti teks aljabar modern. Kontribusi paling signifikan Descartes untuk matematika, bagaimanapun, adalah penemuan geometri analitik , yang mengurangi pemecahan masalah geometri untuk solusi yang aljabar teks geometri nya juga mengandung esensi kursus pada teori persamaan , termasuk apa yang disebut pemerintahannya tanda untuk menghitung jumlah dari apa yang disebut Descartes (positif) dan "salah" (negatif) "benar" akar dari suatu persamaan . Work Pekerjaan dilanjutkan melalui abad ke-18 pada teori persamaan, tetapi tidak sampai 1799 adalah bukti diterbitkan, oleh ahli matematika Jerman Carl Friedrich Gauss , yang menunjukkan bahwa setiap persamaan polinomial setidaknya memiliki satu akar dalam bidang kompleks (lihat Nomor: Bilangan Kompleks ) .
Perhatian bergeser dari memecahkan persamaan polinomial untuk mempelajari struktur sistem matematis abstrak yang aksioma didasarkan pada perilaku obyek matematika, seperti bilangan kompleks , yang ditemui ketika belajar matematika persamaan polinomial. Dua contoh dari sistem tersebut kelompok aljabar(lihat Group) dan quaternions , yang berbagi sifat-sifat sistem bilangan tetapi juga berangkat dari mereka dengan cara-cara penting. Grup dimulai sebagai sistem permutasi dan kombinasi dari akar polinomial, tetapi mereka menjadi salah satu konsep pemersatu utama matematika abad ke-19. Kontribusi penting untuk mempelajari mereka dibuat oleh Galois matematikawan Perancis dan Augustin Cauchy , matematikawan Inggris Arthur Cayley, dan matematikawan Norwegia Niels Abel dan Lie Sophus. Quaternions ditemukan oleh ahli matematika dan astronomi Inggris, William Rowan Hamilton , yang memperpanjang aritmatika kompleks nomor ke quaternions sementara bilangan kompleks adalah bentuk a + bi, quaternions berada diluar dari form a + bi + cj + dk.
Segera setelah itu penemuan Hamilton, matematikawan Jerman Hermann Grassmann mulai menyelidiki vektor. Meskipun karakter abstrak, fisikawan Amerika JW Gibbs diakui dalam aljabar vektor sistem utilitas besar bagi fisikawan, seperti Hamilton mengakui kegunaan quaternions. Pengaruh luas dari pendekatan abstrak yang dipimpin George Boole untuk menulis Hukum Thought (1854), perawatan aljabar dasar logika . Sejak saat itu, aljabar modern juga disebut abstrak aljabar -terus berkembang. Main page Penting hasil baru telah ditemukan, dan subjek telah menemukan aplikasi di semua cabang matematika dan dalam banyak ilmu-ilmu juga. Struktur Geometri
Geometri dimulai dengan kebutuhan praktis untuk mengukur bentuk. The word geometry means to “measure the earth” and is the science of shape and size of things. Kata geometri berarti "pengukuran bumi" dan adalah ilmu tentang bentuk dan ukuran hal. It is believed that geometry first became important when an Egyptian pharaoh wanted to tax farmers who raised crops along the Nile River. Hal ini diyakini bahwa geometri pertama menjadi penting ketika seorang firaun Mesir ingin petani pajak yang mengangkat tanaman di sepanjang Sungai Nil. To compute the correct amount of tax the pharaoh's agents had to be able to measure the amount of land being cultivated. Untuk menghitung jumlah yang benar pajak agen firaun itu harus mampu mengukur jumlah lahan yang dibudidayakan.
Around 2900 BC the first Egyptian pyramid was constructed. Sekitar 2900 SM yang pertama piramida Mesir dibangun. Knowledge of geometry was essential for building pyramids, which consisted of a square base and triangular faces. Pengetahuan tentang geometri adalah penting untuk membangun piramida, yang terdiri dari dasar wajah persegi dan segitiga. The earliest record of a formula for calculating the area of a triangle dates back to 2000 BC. Paling awal catatan rumus untuk menghitung luas segitiga tanggal kembali ke 2000 SM. The Egyptians (5000–500 BC) and the Babylonians (4000–500 BC) developed practical geometry to solve everyday problems, but there is no evidence that they logically deduced geometric facts from basic principles. Orang Mesir (5000-500 SM) dan Babel (4000-500 SM) mengembangkan geometri praktis untuk memecahkan masalah sehari-hari, tetapi tidak ada bukti bahwa mereka secara logis menyimpulkan fakta geometris dari prinsip-prinsip dasar.
It was the early Greeks (600 BC–400 AD) that developed the principles of modern geometry beginning with Thales of Miletus (624–547 BC). Itu adalah awal Yunani (600 SM-400 M) yang mengembangkan prinsip-prinsip geometri modern dimulai dengan Thales dari Miletus (624-547 SM). Thales is credited with bringing the science of geometry from Egypt to Greece. Thales dikreditkan dengan membawa ilmu geometri dari Mesir ke Yunani. Thales studied similar triangles and wrote the proof that corresponding sides of similar triangles are in proportion. Thales mempelajari segitiga yang sama dan menulis bukti bahwa sisi yang sesuai segitiga serupa secara proporsional.
The next great Greek geometer was Pythagoras (569–475 BC). Para ahli ilmu ukur Yunani yang besar berikutnya adalah Pythagoras (569-475 SM). Pythagoras is regarded as the first pure mathematician to logically deduce geometric facts from basic principles. Pythagoras dianggap sebagai matematikawan murni pertama yang secara logis menyimpulkan fakta-fakta geometris dari prinsip-prinsip dasar. Pythagoras founded a brotherhood called the Pythagoreans, who pursued knowledge in mathematics, science, and philosophy. Pythagoras mendirikan persaudaraan yang disebut ilmu Pythagoras, yang mengejar pengetahuan dalam matematika, sains, dan filsafat. Some people regard the Pythagorean School as the birthplace of reason and logical thought. Beberapa orang menganggap Sekolah Pythagoras sebagai tempat kelahiran nalar dan berpikir logis. The most famous and useful contribution of the Pythagoreans was the Pythagorean Theorem. Kontribusi paling terkenal dan manfaat ilmu Pythagoras adalah Teorema Pythagoras. The theory states that the sum of the squares of the legs of a right triangle equals the square of the hypotenuse. Teori menyatakan bahwa jumlah kuadrat dari kaki segitiga siku-siku sama dengan kuadrat dari sisi miring.
Euclid of Alexandria (325–265 BC) was one of the greatest of all the Greek geometers and is considered by many to be the “father of modern geometry”. Euclid dari Alexandria (325-265 SM) adalah salah satu yang terbesar dari semua geometri Yunani dan dianggap oleh banyak orang sebagai "bapak geometri modern". Euclid is best known for his 13-book treatise The Elements. Euclid terkenal karena 13-buku risalah The Elements.The Elements is one of the most important works in history and had a profound impact on the development of Western civilization.Unsur adalah salah satu karya yang paling penting dalam sejarah dan memiliki dampak yang mendalam terhadap perkembangan peradaban Barat.
Euclid began The Elements with just a few basics, 23 definitions, 5 postulates, and 5 common notions or general axioms. Euclid mulai Elements hanya dengan beberapa dasar-dasar, 23 definisi, 5 postulat, dan 5 notasi biasa atau aksioma umum. An axiom is a statement that is accepted as true. Sebuah Aksioma adalah pernyataan yang diterima sebagai benar. From these basics, he proved his first proposition. Dari dasar ini, dia membuktikan proposisi pertama. Once proof was established for his first proposition, it could then be used as part of the proof of a second proposition, then a third, and on it went. Setelah bukti didirikan untuk proposisi yang pertama, kemudian dapat digunakan sebagai bagian dari bukti proposisi kedua, lalu ketiga, dan di atasnya pergi. This process is known as the axiomatic approach. Proses ini dikenal sebagai pendekatan aksiomatik. Euclid's Elements form the basis of the modern geometry that is still taught in schools today. Euclid's Elements membentuk dasar dari geometri modern yang masih diajarkan di sekolah hari ini.
Archimedes of Syracuse (287–212 BC) is regarded as the greatest of the Greek mathematicians and was also the inventor of many mechanical devices including the screw, the pulley, and the lever. Archimedes dari Syracuse (287-212 SM) dianggap sebagai matematikawan terbesar dari Yunani dan juga merupakan penemu banyak alat-alat mekanis termasuk sekrup, katrol dan tuas. The Archimedean screw – a device for raising water from a low level to a higher one – is an invention that is still in use today. Sekrup Archimedean - sebuah perangkat untuk menaikkan air dari tingkat rendah ke yang lebih tinggi satu - adalah sebuah penemuan yang masih digunakan sampai sekarang. Archimedes works include his treatise Measurement of a Circle , which was an analysis of circular area, and his masterpiece On the Sphere and the Cylinder in which he determined the volumes and surface areas of spheres and cylinders. karya Archimedes termasuk risalah-Nya Pengukuran Lingkaran, yang merupakan analisis daerah lingkaran, dan karya-Nya Pada Sphere dan Silinder di mana ia menentukan volume dan daerah permukaan bola dan silinder.
There were no major developments in geometry until the appearance of Rene Descartes (1596–1650). Tidak ada perkembangan utama dalam geometri sampai munculnya Rene Descartes (1596-1650). In his famous treatise Discourse on the Method of Rightly Conducting the Reason in the Search for Truth in the Sciences , Descartes combined algebra and geometry to create analytic geometry. Dalam risalah terkenal Wacana tentang Cara Benar Melakukan Alasan di Cari Kebenaran dalam Ilmu, gabungan Descartes aljabar dan geometri untuk membuat geometri analitik. Analytic geometry, also known as coordinate geometry, involves placing a geometric figure into a coordinate system to illustrate proofs and to obtain information using algebraic equations. geometri analitik, juga dikenal sebagai koordinat geometri, melibatkan menempatkan sosok geometris menjadi sebuah sistem koordinat untuk menggambarkan bukti dan untuk mendapatkan informasi dengan menggunakan persamaan aljabar.
The next great development in geometry came with the development of non-Euclidean geometry. Perkembangan besar berikutnya dalam geometri datang dengan perkembangan geometri non-Euclidean. Carl Friedrich Gauss (1777–1855) who along with Archimedes and Newton is considered to be one of the three greatest mathematicians of all time, invented non-Euclidian geometry prior to the independent work of Janos Bolyai (1802–1860) and Nikolai Lobachevsky (1792-1856). Carl Friedrich Gauss (1777-1855) yang bersama dengan Archimedes dan Newton dianggap sebagai salah satu dari tiga matematikawan terbesar sepanjang masa, menciptakan geometri non-Euclidian sebelum bekerja independen Janos Bolyai (1802-1860) dan Nikolai Lobachevsky ( 1792-1856). Non-Euclidian geometry generally refers to any geometry not based on the postulates of Euclid, including geometries for which the parallel postulate is not satisfied. Non-Euclidian geometri umumnya mengacu pada setiap geometri tidak berdasarkan dalil-dalil Euclid, termasuk geometri yang dalil paralel tidak puas. The parallel postulate states that through a given point not on a line, there is one and only one line parallel to that line. paralel ini postulat menyatakan bahwa melalui titik tertentu bukan pada garis, ada satu dan hanya satu garis paralel dengan garis tersebut. Non-Euclidian geometry provides the mathematical foundation for Einstein's Theory of Relativity. geometri non-Euclidian memberikan landasan matematis Einstein Teori Relativitas.
The most recent development in geometry is fractal geometry. Perkembangan terbaru dalam geometri adalah geometri fraktal. Fractal geometry was developed and popularized by Benoit Mandelbrot in his 1982 book The Fractal Geometry of Nature . Fraktal dikembangkan dan dipopulerkan oleh Benoit Mandelbrot dalam bukunya 1982 The Fractal Geometri Alam.A fractal is a geometric shape, which is self-similar (invariance under a change of scale) and has fractional (fractal) dimensions. fraktal adalah bentuk geometris, yang adalah diri-sama (invarian bawah perubahan skala) dan memiliki pecahan (fraktal) dimensi. Similar to chaos theory, which is the study of non-linear systems; fractals are highly sensitive to initial conditions where a small change in the initial conditions of a system can lead to dramatically different outputs for that system. Mirip dengan teori chaos, yang merupakan studi tentang sistem non-linear; fractals sangat sensitif terhadap kondisi awal di mana perubahan kecil pada kondisi awal suatu sistem dapat menyebabkan dramatis output yang berbeda untuk sistem tersebut.
Archimedes dari Syracusa (sekitar 287 SM - 212 SM) Ia belajar di kota Alexandria, Mesir. Pada waktu itu yang menjadi raja di Sirakusa adalah Hieron II, sahabat Archimedes. Archimedes sendiri adalah seorang matematikawan, astronom, filsuf, fisikawan, dan insinyur berbangsa Yunani. Ia dibunuh oleh seorang prajurit Romawi pada penjarahan kota Syracusa, meskipun ada perintah dari jendral Romawi, Marcellus bahwa ia tak boleh dilukai. Sebagian sejarahwan matematika memandang Archimedes sebagai salah satu matematikawan terbesar sejarah, mungkin bersama-sama Newton dan Gauss. Ada versi lain yang menyebut bahwa Archimedes diperkirakan berguru pada murid Euclid.
Penemuan-penemuan Archimedes
Minat Archimedes adalah matematika murni: bilangan, geometri, menghitung luas bentuk-bentuk geometri. Archimedes dikenal karena kehebatannya mengaplikasikan matematika. Kehebatan inilah yang akan diuraikan di bawah ini.
Archimedes berjasa menemukan ulir Archimedes, alat untuk mengangkat air dengan jalan memutar gagang alat ini dengan tangan. Penggunaan awal alat ini adalah untuk membuang air yang masuk ke dalam perahu atau kapal. Tapi dalam perkembangannya digunakan untuk memompa air dari dataran yang lebih rendah ke tanah yang lebi tinggi.
Alat ini sampai sekarang masih dipakai oleh para petani di seluruh dunia.
Penggunaan cermin pembakar, memberi indikasi bahwa beberapa bentuk geometri sudah diketahui Archimedes, teristimewa bentuk hiperbola. Bentuk lingkaran, elips dan hiperbola terbentuk hanya bagaimana cara kita mengiris suatu bidang. Parabola adalah bentuk istimewa: dapat “mengambil” sinar matahari, dari arah manapun, dan difokuskan pada suatu titik, dan konsentrasikan semua energi cahaya pada bidang sempit untuk dipancarkan kembali dalam berkas sinar yang sangat panas.
Archimedes sudah mencoba menghitung luas parabola, elips, hiperbola dan menentukan titik pusat gravitasi pada setengah lingkaran dan lingkaran. Tidak diketahui secara pasti berapa banyak karya-karya Achimedes yang hilang atau belum ditemukan satu yang terpenting, Metode (The Method, sebagian besar sudah ditemukan pada tahun 1906), tapi karya lain termasuk: On Spiral, On the Measuremant of the Circle, Quadrature of the Parabola, on Conoids & Spheroids, on the Sphere & Cylinder, Books of Lemmas dll. tidak sesuai dengan segala sesuatu yang dihasilkan Archimedes pada jaman Romawi.
Archimedes adalah orang pertama yang memberi metode menghitung besar ? (pi) dengan derajat akurasi yang tinggi. Menghitung besar ? dilakukan dengan cara membuat lingkaran diantara dua segi enam. Luas segi enam kecil < luas lingkaran < luas segi enam besar. Dengan memperbesar jumlah segi - Archimedes membuat 96 sisi, diperoleh besaran:
3 10/71 < Л < 3 1/7
(3,14084 < Л < 3,14285)
Kontribusi penghitungan Л (pi) dari Archimedes barangkali dapat disebut sebagai awal bagi para pengikut untuk meniru metode yang dipakai untuk menghitung luas lingkaran. Terus memperbanyak jumlah segi enam untuk menghitung besaran Л (pi) mengilhami para matematikawan berikutnya bahwa adanya suatu ketidakhinggaan - seperti paradoks Zeno, dimana hal ini mendorong penemuan kalkulus.
Sumber : www.mate-mati-kaku.com, en.wikipedia.org/wiki/Archimedes
2.Rene Descartes(1596 – 1650)
Masa kecil
Dua belas tahun setelah meninggalnya Cardano, lahirlah anak dari sebuah keluarga terpandang di Perancis, Rene Descartes. Ibunya, Jeanne Brichard, meninggal beberapa hari setelah melahirkan dan bayinya pun dalam kondisi lemah.Mempunyai dua kakak – laki dan perempuan – setelah ayahnya menikah lagi. Descartes muda tidak banyak mempunyai teman. Pendiam dan memberi kesan seorang “kutu buku” sehingga ayahnya menjulukinya dengan sebutan “filsuf.” Anak kecil serius ini pada umur sepuluh tahun dikirim ke sekolah Jesuit di La Fleche yang terkenal di seluruh Eropa. Salah satu teman akrab Descartes adalah Mersenne. Di sekolah ini Descartes belajar logika, etika, metafisik, sejarah dan ilmu pengetahuan sebelum belajar aljabar dan geometri tanpa guru.
Bertemu Isaac Beeckman
Pada suatu kempatan ia Descrates bertemu dengan Beeckman.Isaac Beeckman adalah matematikawan terkemuka Belanda saat itu, menyatakan bahwa problem matematika tersebut terlalu mudah karena langsung dapat dipecahkan. Mereka saling berkenalan dan sejak saat itu Isaac Beeckman menjadi teman sekaligus pembimbing Descartes.
Kartesian
Pengaruh Beeckman terhadap Descartes sangat besar sehingga sering disebutnya dengan “Ayah spiritual sekaligus sumber inspirasi terhadap minat belajarku.” Dia membuat komitmen untuk menjadi perintis bidang matematika baru. Empat bulan setelah insiden pertemuan itu, Descartes melaporkan kepada Beeckman tentang penemuannya, cara baru mempelajari geometri. Setelah bertahun-tahun dihantui dengan metode-metode ahli-ahli geometri Yunani. “Tampaknya tidak ada sistem yang mampu memecahkan cara pembuktian jenius mereka [orang Yunani] kecuali diperoleh kelelahan luar biasa karena mencoba mencitrakannya.” Untuk menangani garis-garis dan bentuk-bentuk ruang diperlukan sebuah grafik untuk menggambarkannya. Grafik dibuat dengan menyilangkan garis horizontal - diberi nama sumbu x, dengan garis vertikal – diberi nama sumbu y, dimana persilangan itu terjadi pada titik nol [0]. Pada sumbu x sisi kanan adalah positif sedang sisi kiri negatif. Begitu pula, bagi sumbu y di sisi atas adalah positif dan sedang di sisi bawah negatif.
Bentuk-bentuk atau garis-garis dapat digambar pada grafik sessuai dengan posisinya yang ditandai dengan angka-angka. Sebagai contoh, sebuah titik dapat digambarkan oleh dua angka, satu menunjukkan jarak pada sumbu x dan lainnya menunjukkan jarak pada sumbu y. Misal: titik P dihadirkan dengan dua angka 2 dan 3 menunjuk 2 satuan ukuran pada sumbu x dan 3 satuan ukuran [yang identik] pada sumbu y dan ditulis dengan notasi titik P (2,3).
Apabila ada 2 orang pelari dengan kecepatan yang sama tapi satu pelari telah berada pada jarak 1 meter sedangkan jarak yang harus ditempuh 10 meter. Dengan mengandaikan y selalu di muka 1 unit dibandingkan x, maka dapat ditulis persamaan, y = x + 1 atau x – y + 1 = 0. Setelah lama “bermain” dengan garis-garis akhirnya Descartes menemukan bahwa semua garis lurus mempunyai persamaan umum: ax + by + c = 0, dimana a, b dan c adalah konstanta. Semua garis lurus dapat dijabarkan ke dalam satu macam persamaan aljabar.
Persamaan di atas, y = x + 1 [lihat: gambar 1] dapat disimulasikan dengan tabel di bawah ini sebelum semua titik-titik itu dihubungkan menjadi sebuah garis lurus.
Titik
A
B
C
D
E
F
y
2
3
4
5
6
7
x
1
2
3
4
5
6
Saat dia mempelajari bentuk-bentuk dengan menggunakan sumbu-sumbu, Descartes menemukan hasil mengejutkan. Diketahui bahwa semua bentuk mempunyai kategori persamaan umum, seperti halnya garis lurus. Menggambar theorema Pythagoras, pada sebuah lingkaran dengan pusat pada titik (0,0) dengan x dan y masing-masing menunjuk jarak dari titik pusat dan r adalah jari-jari lingkaran, diperoleh x² + y² = r². Rumus di atas merupakan fungsi lingkaran. Bentuk-bentuk lain seperti – ellips, hiperbola, parabola – juga mempunyai fungsi yang lazim disebut dengan persamaan tingkat kedua (kuadrat), sedangkan fungsi untuk garis lurus disebut dengan persamaan tingkat pertama (linier).
Sumber : www.mate-mati-kaku.com, en.wikipedia.org/wiki/renedescrates
3.Apollonius(262 SM – 190 SM)
Tidak banyak informasi tentang Apollonius dari Perga yang lazim disebut dengan pakar pengukur tanah (geometer) terbesar. Namun karya-karyanya membawa dampak besar bagi perkembangan matematika. Buku karyanya yang terkenal, Conics (kerucut), mengenalkan istilah-istilah yang sekarang populer seperti: parabola, elips dan hiperbola.
Disebut dengan kerucut karena irisan dari sebuah kerucut akan menghasilkan tiga bentuk yang sudah disebut di atas. Masa mudanya tidak terlalu jelas, tapi diketahui bahwa dia mengalami masa pemerintahan Ptolemy Euergetes, Ptolemy Philopatus; ada laporan yang menyebut bahwa Apollonius adalah pengikut Ptolemy Philadelphus. Umurnya lebih kurang 25 – 40 tahun lebih muda dibandingkan dengan Archimedes.
Karya puncaknya adalah Conics (kerucut)
Buku pertama Conics (kerucut) membahas segala sesuatu tentang hal-hal mendasar tentang kurva-kurva yang disebut “paling lengkap dan lebih umum dibanding pengarang-pengarang lain.” Dalam buku ini pula disebutkan theorema dan transformasi koordinat dari sistem yang didasarkan pada tangen dan diameter pada titik P yang berada pada kerucut ke dalam sistem baru yang ditentukan oleh tangen dan diameter dari titik Q yang berada pada kurva yang sama. Apollonius sangat mengenal karakteristik hiperbola dengan asimtut sebagai absisnya. Persamaan xy = c2 adalah hiperbola sama sisi yang mirip dengan rumus hukum Boyle tantang gas.
Buku kedua melanjutkan bahasan tentang tangen dan diameter. Dengan menggunakan proposisi-proposisi dan gambar-gambar kurva.
Buku ketiga disebut oleh Apollonius yang paling membanggakan dirinya karena disebutkan berisi theorema-theorema yang bermanfaat untuk melakukan (operasi) sintesis dan solid loci penentuan limit. Disebutkan olehnya bahwa Euclid belum menyinggung topik ini. Locus tiga dan empat garis memegang peran penting dalam matematika sejak Euclid sampai Newton.
Buku keempat menggambarkan keinginan pengarangnya untuk menunjukkan “Berapa banyak cara bagian kerucut dapat saling berpotongan.” Ide tentang hiperbola dua cabang yang berlawanan arah adalah gagasan Apollonius.
Buku kelima berhubungan dengan maksimum dan minimum garis lurus yang bersinggungan dengan kerucut.
Pada saat buku ini dibuat, tidak pernah terpikirkan bahwa akan konsep-konsep didalamnya mendasari dinamika bumi (terrestial) dan mekanika alam semesta (celestial). Tanpa pengetahuan tentang tangen terhadap parabola mustahil analisis terhadap lintasan peluru tidaklah dimungkinkan.
Buku keenam, berisikan proposisi-proposisi tentang bagian dari kerucut apakah sama atau beda, mirip atau berlainan. Terdapat satu proposisi yang membuktikan bahwa apabila sebuah kerucut dipotong oleh dua garis sejajar terjadilah bagian-bagian hiperbolik dan eliptik, bagian yang mirip namun tidak sama.
Buku ketujuh kembali membicarakan tentang mentasrifkan (conjungate) diameter-diameter dan berbagai “proposisi-proposisi baru” yang membahas diameter dari bagian-bagian kerucut.
Asal-usul nama
Archimedes sudah mencetuskan nama parabola yang artinya bagian sudut kanan kerucut. Apollonius (barangkali melanjutkan penamaan Archimedes) mengenalkan kata elips dan hiperbola dalam kaitannya dengan kurva-kurva tersebut. Istilah “elips”, “parabola”, dan “hiperbola” bukanlah penemuan Achimedes maupun Apollonius; mereka mengadaptasi kata dan artinya dari para pengikut Pythagoras (pythagorean), dalam menyelesaikan persamaan-persamaan kuadratik untuk aplikasi mencari luas. Elips berarti kurang atau tidak sempurna digunakan untuk memberi nama apabila luas persegi panjang pada bidang yang diketahui disetarakan dengan bagian garis tertentu yang diketahui hasilnya kurang. Hiperbola yang artinya kelebihan dipakai apabila luas persegi panjang pada bidang yang diketahui disetarakan dengan bagian garis tertentu yang diketahui hasilnya lebih. Parabola yang artinya di samping atau pembanding) tidak mengindikasikan lebih atau kurang. Apollonius menggunakan ketiga istilah di atas dalam konteks baru yaitu sebagai persamaan parabola dengan verteks pada titik asal, (0,0), sistem Kartesian, adalah y² = lx (l = “latus rectum” atau parameter) sekarang diganti dengan 2p atau bahkan 4p.
* Geometer Yunani membagi kurva menjadi 3 kategori. Pertama, “plane loci” terdiri dari garis lurus dan lingkaran; kedua, “solid loci” terdiri dari bagian/potongan kerucut; ketiga, “liniear loci” gabungan antara garis dan bentuk bidang.
Sumbangsih
Konsep parabola, hiperbola dan elips banyak memberi sumbangan bagi astronomi modern. Buku Newton Principia memberi harapan orang melakukan perjalanan ke luar angkasa. Baru tahun 1960-an, keinginan itu terlaksana karena pemahaman konsep minima, maksima dan tangen dari Apollonius. Karya Apollonius kelak digeneralisasikan oleh Descartes - setelah ada “sentuhan” Pappus, untuk menguji geometri analitik. Tema seperti buku teks dan bahasan yang mendalam dan rinci mamberi inspirasi bagi perkembangan matematika abad-abad berikutnya.
Sumber : http://www.mate-mati-kaku.com/matematikawan/apollonius.html
4.Aryabtha (4018 SM) menemukan hubungan keliling sebuah lingkaran
Paradoks Zeno
Paradoks adalah suatu istilah yang mengacu kepada suatu pernyataan yang secara logika terlihat benar tetapi salah dalam realitasnya. Salah satu paradoks yang terkenal dalam filsafat atau matematika adalah pernyataan yang dikemukaan oleh Zeno dari Elea, yang kemudian dikenal sebagai paradokz Zeno.
Matematikawan bengal pencipta banyak paradoks
Zeno
(490 – 435 SM)
Riwayat
Zeno dikenal banyak orang karena namanya tercantum pada halaman pertama buku Parmenides karangan Plato. Diperkirakan bahwa saat itu Zeno berumur 40 tahun, sedang Socrates masih remaja, kisaran usia 20 tahun. Dengan mengetahui bahwa Socrates lahir pada 469 SM, maka diperkirakan Zeno lahir pada tahun 490 SM. Disinyalir bahwa Zeno mempunyai hubungan “khusus” dengan Parmenides. Catatan Plato menyebutkan adanya gosip bahwa mereka saling jatuh cinta saat Zeno masih muda, dan tulisan Zeno tentang paradoks digunakan untuk melindungi filsafat Parmenides dari para pengkritiknya. Semua catatan itu tidak pernah ada dan cerita itu dituturkan oleh tangan kedua. Tulisan Aristoteles yang terdapat pada Simplicius - terbit ribuan tahun setelah Zeno - digunakan sebagai acuan.
Zeno dari Elea, lahir pada awal mulainya perang Persia – konflik antara Timur dan Barat. Yunani dapat menaklukkan Persia, tapi semua filsuf Yunani tidak pernah berhasil menaklukkan Zeno. Zeno mengemukakan 6 paradoks, teka-teki yang tidak dapat dipecahkan oleh logika filsuf terkemuka Yunani saat itu. Paradoks yang dilontarkan Zeno membingungkan semua filsuf Yunani, namun tidak seorang pun dapat menemukan kesalahan pada logika Zeno. Paradoks ini menjadi sangat termasyur karena terus “mengganggu” pemikiran para matematikawan; dan baru dapat dipecahkan hampir 2000 tahun kemudian. Dari enam paradoksnya, yang paling terkenal, adalah paradoks lomba lari Achilles dan kura-kura.
Latar belakang
Parmenides menolak faham pluralisme dan realitas dalam berbagai macam perubahan: baginya segala sesuatu tidak dapat dibagi, realitas tidak berubah, dan hal-hal yang tampak dan berbeda hanyalah ilusi belaka, sehingga dapat dibantah dengan argumen/alasan. Tidak perlu disangsikan lagi, faham ini mendapat banyak kritikan tajam.
Tanggapan terhadap kritik Zeno memicu sesuatu yang lebih nyata, namun mampu memberi dampak mendalam bagi filsafat Yunani bahkan sampai saat ini. Zeno berusaha menunjukkan bahwa suatu kemustahilan diikuti oleh logika dari pandangan Parmenides. Segala sesuatu dapat menjadi sangat kecil atau menjadi sangat besar. Paradoks ini sebagai bukti kontradiksi atau kemustahilan akibat asumsi-asumsi yang (tampak) masuk akal. Apabila dilihat lebih dalam maka paradoks mengarah kepada target spesifik yaitu menyangkut lebih atau kurang: pandangan orang atau aliran pemikiran tertentu. Zeno – lewat paradoks - berusaha menyatakan bahwa alam semesta ini tidak berubah dan tidak bergerak.
Mencoba menyingkap siapa yang menjadi target serangan Zeno relatif lebih mudah daripada mencoba memecahkan paradoksnya. Tahun kelahiran Zeno, menunjuk bahwa dunia remajanya dipenuhi dengan pandangan Pythagoras (580 – 475 SM) dan para pengikutnya (pythagorean). Tampaknya doktrin Pythagorean mau diserang Zeno, meskipun dugaan ini masih terlampau dini untuk disebut karena topik ini masih menjadi ajang perdebatan sampai sekarang.
Paradoks Zeno mengungkapkan problem-problem yang tidak dapat diselesaikan oleh semua teknik matematika yang tersedia pada saat itu. Penyelesaian paradoks Zeno baru dimulai pada abad 18 (atau lebih awal dari itu). Paradoks itu mampu merangsang otak-otak kreatif matematikawan dan memberi warna pada sejarah perkembangan matematika.
Matematikawan “hitam”
Zeno (490 – 435 SM) dari Alea dan Eudoxus (408 – 355 SM) dari Cnidus menghadirkan pertentangan dua kubu pemikiran matematika: penghancuran kritikal dan pengembangan kritikal. Pertentangan kedua pemikiran ini layak disebut dengan ajang pertempuran logika antara matematikawan “hitam” dan matematikawan “putih.”
Duel “aliran” tidak hanya terjadi pada jaman kuno, matematikawan modern juga mengekor atau menjadi pengikut salah satu idola mereka.
Penghancuran kritikal seperti pemikiran Zeno diteruskan oleh Kronecker (1823 – 1891) dan Brouwer (1881 - 1966), sedangkan pemikiran Eudoxus diteruskan oleh Weierstrass (1815 – 1897), Dedekind (1831 – 1916) dan Cantor (1845 – 1918).
Paradoks Zeno
Ada 4 paradoks Zeno yang terkenal, meskipun yang paling terkenal adalah paradoks kedua, perlombaan lari Archilles dan kura-kura.
1. Dikhotomi
Paradoks ini dikenal sebagai “dikhotomi” karena selalu terjadi pengulangan pembagian menjadi dua. Gerak adalah tidak dimungkinkan, sebab apapun yang terjadi gerak harus mencapai (titik) tengah terlebih dahulu sebelum mencapai (titik) akhir; tapi sebelum mencapai titik tengah terlebih dahulu mencapai seperempat dan seterusnya, suatu ketakterhinggaan. Jadi, gerak tidak akan pernah ada bahkan pada saat untuk memulainya.
2. Perlombaan lari Achilles dan kura-kura
Achilles - kesatria pada perang Troya, mitologi Yunani, berlomba lari dengan kura-kura, tetapi Achilles tidak dapat mengalahkan kura-kura yang berjalan lebih dahulu. Untuk memudahkan penjelasan, maka diberikan ilustrasi dengan menggunakan angka pada paradoks ini.
Bayangkan: Achilles berlari dengan kecepatan 1 meter per detik, sedangkan kura-kura selalu berjalan dengan kecepatan setengahnya, ½ meter per detik, namun kura-kura mengawali perlombaan dari ½ jarak yang akan ditempuh (misal: jarak tempuh perlombaan 2 km, maka titik awal/start kura-kura berada pada posisi 1 km, sedang Archilles pada titik 0 km). Kura-kura berjalan begitu Achilles mencapai tempatnya. Begitu Achilles mencapai posisi 1 km, kura-kura berada pada posisi 1,5 km; Achilles mencapai posisi 1,5 km, kura-kura mencapai posisi 1,75; Achilles mencapai posisi 1,75 km, kura-kura mencapai posisi 1,875 km. Pertanyaannya adalah kapan Achilles dapat menyusul kura-kura?.
3. Anak panah
Anak panah bergerak (karena dilepaskan dari busur) pada waktu tertentu, diam maupun tidak diam. Apabila waktu tidak dapat dibagi, panah tidak akan bergerak. Apabila waktu kemudian dibagi. Tetapi waktu juga tersusun dari setiap (satuan) saat. Jadi panah tidak dapat bergerak pada suatu saat tertentu, tidak dapat bergerak pula pada waktu. Oleh karena itu anak panah selalu diam.
4. Stadion
Paradoks tentang gerakan urutan orang duduk di dalam stadion. Urutan [AAAA] yang diam diperbandingkan dengan urutan bergerak pada tempat duduk stadion dari dua arah yang berlawanan, [BBBB]: urutan orang yang bergerak ke kiri dan [CCCC]: urutan orang duduk yang bergerak ke kanan.
Paradoks tentang stadion ini dapat digambarkan sbb.:
AAAA: urutan berhenti
BBBB: urutan bergerak ke kiri
CCCC: urutan bergerak ke kanan
Semuanya bergerak dengan kecepatan tetap/sama.
Posisi I Posisi II
A A A A A A A A
B B B B B B B B
C C C C C C C C
Posisi I:
Urutan duduk AAAA, BBBB dan CCC terletak rapi, baris dan kolom sama. Gerakan dimulai, dengan kecepatan sama, urutan BBBB dan urutan CCCC bergerak. Urutan B paling kiri melewati 2 orang: C paling kiri dan A paling kiri. Jarak B paling kiri dengan C paling kiri adalah 2 kali jarak B paling kiri dengan A paling kiri, dengan waktu yang sama.
Zeno mempertanyakan mengapa dengan waktu yang sama dan kecepatan sama ada perbedaan jarak yang ditempuh?
Pemecahan modern
Semua orang tahu bahwa dalam dunia nyata, Achilles pasti dapat menyusul kura-kura, namun dari argumen Zeno, Achilles tidak akan pernah dapat menyusul kura-kura. Para filsuf jaman itu pun tidak mampu membuktikan paradoks tersebut, walaupun mereka tahu bahwa kesimpulan akhirnya adalah salah. “Senjata” filsuf hanya logika, dan deduksi tidaklah berguna dalam kasus ini. Semua langkah tampaknya masuk akal, dan jika semua prosedur sudah dijalani, bagaimana kesimpulan yang didapat ternyata salah?
Mereka terperangah dengan problem tersebut, tetapi tidak memahami akar permasalahan: ketakterhingga (infinite). Hal ini sama dapat terjadi apabila anda membagi sebuah mata uang menjadi 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, 1/32, 1/64 dan seterusnya sampai tidak terhingga tetapi hasilnya akhirnya jelas, yaitu: tetap 1 mata uang. Matematikawan modern menyebut fenomena ini dengan istilah limit; angka 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, 1/32, 1/64, 1/128 dan seterusnya mendekati angka 0 sebagai titik akhir (limit).
Angka berurutan dengan pola tertentu sampai tidak mempunyai batas akhir; mereka makin kecil dan bertambah kecil sampai tidak dapat dibedakan lagi. Orang Yunani tidak mampu menangani ketakterhinggaan. Mereka berpikir keras tentang konsep kosong (void) tetapi menolak (angka) 0 sebagai angka. Hal ini pula yang membuat mereka pernah dapat menemukan kalkulus.
Dua paradoks tambahan
Tidak puas dengan empat paradoks yang dilontarkan. Zeno menambahkan dua paradoks lain yang tidak kalah rumitnya.
5. Paradoks tentang tempat
Paradoks ini cukup singkat, sehingga Zeno sulit menjelaskannya. Secara garis besar dapat disederhanakan sbb.: keberadaan segala sesuatu benda (misal: batu) adalah suatu tempat tertentu (misal: meja), sedangkan tempat tertentu itupun (meja) memerlukan suatu tempat (misal: rumah) dan seterusnya sampai ketakterhinggaan.
6. Paradoks tentang bulir gandum
Apabila anda menjatuhkan sebuah karung berisi gandum yang belum dikupas kulitnya akan terdengar suara keras; tetapi suara itu adalah akibat gesekan bulir-bulir gandum dalam karung; akibatnya setiap bagian dari bulir-bulir gandum menimbulkan suara saat jatuh ke tanah. Kemudian pertimbangkanlah menjatuhkan setiap bagian dari bulir gandum itu; kita semua tahu bahwa tidak ada suara yang terdengar.
Zeno boleh mati, tetapi paradok tetap hidup
Karena kecerdikan sendiri, Zeno akhirnya menghadapi problem serius. Sekitar tahun 435 SM, dia bersekongkol untuk mengulingkan tirani Elea saat itu, Nearhus. Zeno membantu menyelundupkan senjata dan mendukung pemberontakan. Sialnya, Nearchus mengetahui skenario itu, dan Zeno akhirnya ditangkap. Berharap dapat mengungkap konspirasi itu, Zeno disiksa. Tidak tahan oleh siksaan, Zeno menyuruh para penyiksanya untuk menghentikan siksaan dan dia berjanji akan menyebutkan nama rekan-rekannya.
Ketika Nearchus mendekat, Zeno meminta agar tiran itu lebih mendekat lagi karena dia akan menyebutkan nama-nama komplotan rahasia itu langsung di telinga Nearchus. Setelah telinga ada dalam jangkauan, tiba-tiba Zeno menggigit telinga Nearchus. Nearchus menjerit-jerit kesakitan, namun Zeno menolak untuk melepaskan gigitannya. Para penyiksanya hanya dapat melepaskan gigitan Zeno dengan jalan menusuk mati Zeno. Ini adalah akhir hayat, pencipta paradoks atau guru ketakterhinggaan.
Sumbangsih
Jasa Zeno paling besar adalah pengaruhnya bagi filsafat. Sasaran ‘tembak’ Zeno adalah pluraliti dan gerak – sesuatu ditanamkan pada opini-opini geometrikal yang lazim dikenal – selain akal sehat, menyerang doktrin-doktrin Pythagorean, ternyata mampu memberi inspirasi para teori relativitas (paradoks keempat) dan fisika quantum. Kenyataannya ruang dan waktu bukanlah struktur matematika utuh (continuum). Alasan bahwa ada cara untuk melestarikan realitas gerak mengingkari bahwa ruang dan waktu terbentuk dari titik-titik dan saat-saat.
Paradoks ini sangat terkenal, terutama paradoks Archilles dan kura-kura, kelak dipecahkan oleh Cantor. Hampir seluruh buku matematika mencantumkan nama Zeno pada indeksnya. Paradoks tidak hanya merupakan pertanyaan terhadap matematika abstrak tetapi juga pada realitas fisik. Memperkecil skala seperti halnya paradoks bulir gandum, sampai tidak dapat dibagi memicu orang “membedah” suatu benda sampai tingkat atom.
Teori Group
Dalam matematika, grup adalah suatu himpunan, beserta satu operasi biner, seperti perkalian atau penjumlahan, yang memenuhi beberapa aksioma yang diuraikan di bawah ini. Misalnya, himpunan bilangan bulat adalah suatu grup terhadap operasi penjumlahan. Cabang matematika yang mempelajari grup disebut teori grup.
Asal-usul teori grup berawal dari kerja Evariste Galois (1830), yang berkaitan dengan masalah persamaan aljabar yang terpecahkan dengan radikal. Sebelum kerja Galois, grup lebih banyak dipelajari secara kongkrit, dalam bentuk permutasi; beberapa aspek teori grup abelian dikenal dalam teori bentuk-bentuk kuadrat.
Banyak sekali obyek yang dipelajari dalam matematika ternyata berupa grup. Hal ini mencakup sistem bilangan, seperti bilangan bulat, bilangan rasional, bilangan nyata, dan bilangan kompleks terhadap penjumlahan, atau bilangan rasional, bilangan nyata, dan bilangan kompleks yang tak-nol, masing-masing terhadap perkalian. Contoh penting lainnya misalnya matriks non-singular terhadap perkalian, dan secara umum, fungsi terinverskan terhadap komposisi fungsi. Teori grup memungkinkan sifat-sifat sistem-sistem ini dan berbagai sistem lain untuk dipelajari dalam lingkup yang umum, dan hasilnya dapat diterapkan secara luas. Teori grup juga merupakan sumber kaya berbagai teorema yang berlaku dalam lingkup grup.
Dalam sejarah Teori Grup ada tiga agar yang menjadi fundamental atau dasar teori grup, yaitu Persamaan Aljabar, Teori Bilangan, dan Geometri. Euler, Gauss, Lagrange, Abel, dan Galois merupakan para peneliti awal dalam bidang Teori Grup. Elvariste Galois adalah seorang matematikawan yang pertama kali menghubungkan Teori Grup dengan Teori Medan, yang menghasilkan suatu teorema yang disebut Teori Galois. Masalah pertama kali muncul dalam membuat suatu persamaan tingkat ke-m yang memiliki akar n seperti akar dari suatu persamaan tingkat ke-m (n Le Soeur pada tahun 1748 melakukan analisis data lebih lanjut sedangkan Waring melakukan analisisnya dari tahun 1762 sampai tahun 1782. landasan umum yang digunakan dalam teori persamaan dasar dari permutasi Grup detemukan oleh Lagrange, dan berhasil merumuskan teori Substitusi. Lagrange menyatakan bahwa dari seluruh resolvent yang dia periksa merupakan fungsi rasional dari akar persamaan tersebut. Lagrange mengusulkan suatu Calcul des Combinaisons untuk mengkaji sifat-sifat funsi ini. Pada tahun 1770, karya seorang matematikawan yang bernama Vandermonde turut mewarnai teori-teori berikutnya. Sedangkan pada tahun 1799, Ruffini mencoba untuk membuktikan penyelesaian persamaan quintic dan persamaan yang lain dengan tingkat yang lebih tinggi. Ruffini membedakan intransitif dengan transitif, dan grup imprimitif dengan grup primitif. Dan pada tahun 1801, dia menggunakan grup dari suatu persamaan yang disebut l’assieme della permutazoini. Dia juga menerbitkan suatu surat kabar yang di dalamnya berisi tentang ide yang berhubungan dengan teori grup. Sedangkan Galois merumuskan teori persamaan modular dan fungsi Eliptik. Publikasi untuk yang pertama kali oleh Galois dalam bidang teori grup diterbitkan saat usianya mencapai 18 tahun tepatnya pada tahun 1829, akan tetapi kontribusinya kurang begitu menarik perhatian sebelum publikasi makalah-makalah yang dibuatnya pada tahun 1846.
